## [Codimension](/fr/node/63886) Définition La codimension est une mesure numérique comparant la dimension ambiante à la dimension d'un sous-objet ; pour un idéal premier p dans un anneau noethérien R, la cohauteur (codimension) est dim(R) - hauteur(p), et pour une sous-variété c'est la différence entre la dimension ambiante et celle de la sous-variété. ## Principe Principe Quantifier combien de contraintes indépendantes sont imposées en passant de l'objet ambiant au sous-objet : la codimension compte la chute de la dimension de Krull et est additive dans les situations géométriques régulières attendues. ## Démonstration Démonstration Dans R = k[x,y,z] (dim 3), l'idéal d'un plan défini par une équation linéaire a codimension 1 ; l'idéal d'une droite défini par deux équations linéaires indépendantes a codimension 2, correspondant à la perte de dimension. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que la codimension est égale au nombre minimal de générateurs de l'idéal définissant dans tous les cas ; en présence de singularités ou d'intersections non complètes, le nombre minimal de générateurs peut dépasser la codimension. ## Conséquence Conséquence La codimension prédit les dimensions d'intersection attendues et intervient dans les formules de dimension, les énoncés de dualité et le comptage de paramètres pour les familles : un sous-objet de codimension c réduit localement c dimensions de l'ambient. ## Inversion Inversion Le point de vue complémentaire est la hauteur : au lieu de mesurer combien un objet est loin de l'ambient, la hauteur mesure combien il est élevé au-dessus du bas de Spec(R) ; la codimension se voit comme la hauteur mesurée depuis le sommet. ## Limite Limite La codimension exige une notion de dimension ambiante ; dans des anneaux sans dimension de Krull finie la différence naïve peut être indéfinie ou infinie. Pour des sous-schémas non premiers la codimension peut être schématique et différer de la codimension topologique naïve. ## Tension sémantique Tension sémantique La codimension en géométrie algébrique peut être en tension avec la codimension en algèbre linéaire (dimension du quotient) lorsque la structure schématique ou les singularités interviennent ; la codimension algébrique est krullienne plutôt que fondée sur le nombre de générateurs. ## Synthèse Synthèse La codimension mesure la perte de dimension de Krull lors de la restriction à un sous-objet : un invariant de base pour comptabiliser combien de conditions indépendantes ou d'équations définissent ce sous-objet par rapport à son espace ambiant.