##  [Hauteur (D'Un Idéal Premier)](/fr/node/63884) 

 Définition

Pour un idéal premier p d'un anneau commutatif R, la hauteur de p est la borne supérieure des longueurs n de chaînes strictement croissantes d'idéaux premiers p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p ; c'est la codimension de Krull de p dans Spec(R).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Classer les idéaux premiers par inclusion : la hauteur compte le nombre d'étapes de contenance non triviales situées sous un idéal premier donné et mesure ainsi sa position dans le réseau d'inclusions de Spec(R).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans l'anneau de polynômes k[x,y], l'idéal nul (0) a hauteur 0, un premier principal comme (x) a hauteur 1, et un idéal maximal (x - a, y - b) a hauteur 2 ; ces chaînes illustrent les accroissements successifs de codimension.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prendre la hauteur pour le nombre minimal de générateurs de l'idéal premier ou pour le nombre d'équations définissant la variété correspondante ; ce sont des invariants différents qui peuvent diverger en présence de singularités.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Connaître les hauteurs contrôle les comptages de dimension pour les localisés et les quotients : height(p) = dim(R_p), et les hauteurs apparaissent dans les formules de dimension et les stratifications de Spec(R).

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La notion duale est la cohauteur (codimension mesurée depuis les idéaux maximaux vers le bas) : au lieu de compter les idéaux sous p, on compte ceux qui le contiennent jusqu'aux maximaux.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie pour les idéaux premiers dans des anneaux où les chaînes d'idéaux premiers ont un sens ; pour un idéal quelconque on peut considérer la hauteur de ses idéaux premiers minimaux mais il n'y a pas toujours une hauteur canonique de l'idéal lui‑même ; en contexte non commutatif les distinctions gauche/droite modifient la notion.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La hauteur peut être confondue avec la profondeur (invariant homologique des modules) ou avec le nombre minimal de générateurs ; la hauteur relève de la dimension/ordre de Krull, la profondeur de suites régulières et de groupes Ext.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La hauteur d'un idéal premier est la position, au sens de la théorie de Krull, de cet idéal dans Spec(R) : un nombre indiquant combien d'inclusions propres de premiers aboutissent à lui, gouvernant la dimension locale et représentant la codimension géométrique du morceau correspondant.