## [Dimension de Gelfand–Kirillov](/fr/node/63880) Définition Un invariant de croissance d'une algèbre finiment engendrée A sur un corps qui mesure le taux asymptotique de croissance des dimensions des puissances d'un sous-espace engendrant V de dimension finie, typiquement défini par GKdim(A)=limsup_{n→∞} log(dim V^n)/log n. ## Principe Principe La dimension GK classe les algèbres selon des taux de croissance polynomiaux ou exponentiels de l'enveloppe linéaire sous multiplication ; elle est indépendante du choix du sous-espace engendrant de dimension finie, en tant qu'invariant. ## Démonstration Démonstration Pour l'algèbre polynomiale k[x1,...,xd], GKdim = d car les dimensions des polynômes de degré ≤ n croissent comme n^d ; l'algèbre libre en deux générateurs a croissance exponentielle et GKdim = ∞ ; l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie de dimension finie a GKdim fini égal à un degré prévisible. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre la dimension GK avec la dimension de Krull ou utiliser GKdim sans hypothèses de finitude (par ex. sur des algèbres non finiment engendrées) mène à des affirmations sans sens ; supposer que GKdim fini implique commutativité est faux. ## Conséquence Conséquence La dimension GK contraint la théorie des représentations et le comportement des anneaux : GKdim fini fournit souvent un contrôle sur la croissance des modules, des liens possibles avec la propriété PI, et influence les propriétés d'atomicité homologique et catégorique. ## Inversion Inversion Une algèbre de dimension GK infinie présente une croissance exponentielle ; à l'inverse, les algèbres de GKdim zéro sont de dimension finie, et les dimensions GK entières intermédiaires reflètent une croissance de type polynômiale. ## Limite Limite Définie principalement pour des algèbres finiment engendrées (ou des algèbres filtrées avec des graduations de dimension finie) sur un corps ; sensible au corps de base mais invariante sous extensions finies de corps ; ce n'est pas un substitut à la dimension de Krull ou homologique. ## Tension sémantique Tension sémantique Dimension GK vs dimension de Krull ou dimension homologique : la GKdim est un invariant de croissance asymptotique de la taille en espace vectoriel, tandis que les dimensions de Krull et homologique mesurent des longueurs de chaînes ou des dimensions projectives ; elles peuvent coïncider pour des cas commutatifs affines mais diverger en noncommutatif. ## Synthèse Synthèse La dimension de Gelfand–Kirillov quantifie le degré asymptotique polynômial de croissance des parties graduées/filtrées d'une algèbre, distinguant les croissances polynomiale et exponentielle et éclairant la théorie des représentations et la structure.