## [Réduction (Propriété Réduite)](/fr/node/63877) Définition Propriété d'un anneau R (ou d'un schéma) de ne pas posséder d'éléments nilpotents non nuls ; équivalente à la nullité du nilradical de R. ## Principe Principe La réduction repose sur la disparition du comportement nilpotent : tout élément satisfaisant x^n = 0 est nul. Elle évalue si la structure algébrique ne contient pas d'épaississements infinitésimaux et reflète uniquement les points topologiques. ## Démonstration Démonstration Un produit fini de corps est réduit ; si I est un idéal radical de k[x1,...,xn], alors k[x1,...,xn]/I est réduit et correspond à l'anneau coordonné d'une variété affine sans structure nilpotente incorporée. ## Mauvaise application Mauvaise application Prétendre qu'un anneau réduit est un domaine (intègre) : réduit exclut les nilpotents mais admet des diviseurs de zéro ; remplacer « réduit » par « irréductible » ou « intègre » est une erreur. ## Conséquence Conséquence Pour les schémas, la réduction signifie que le faisceau structural n'a pas d'épaississements infinitésimaux et que la géométrie ignore les directions nilpotentes ; de nombreuses constructions sont simplifiées sur une base réduite. ## Inversion Inversion Un anneau non réduit contient des éléments nilpotents non nuls, donnant des voisinages infinitésimaux dans le schéma correspondant (par ex. k[x]/(x^2) représente un point doublé). ## Limite Limite La réduction ne concerne que les nilpotents et ne contrôle pas les diviseurs de zéro, l'intégralité, la normalité ni la factorisation ; c'est une propriété locale sur le spectre qui se vérifie sur les anneaux ou anneaux locaux. ## Tension sémantique Tension sémantique Réduit vs intègre vs irréductible : réduit exclut les nilpotents, intègre exige l'absence de diviseurs de zéro plus la réduction, et irréductible concerne la topologie du spectre ; ces notions se recoupent mais restent distinctes. ## Synthèse Synthèse La propriété réduite est l'absence d'éléments nilpotents : une condition algébrique supprimant les épaississements infinitésimaux et assurant que l'anneau ou le schéma reflète de vrais points géométriques.