##  [Anneau Local Régulier](/fr/node/63875) 

 Définition

Un anneau local noethérien (R, m) dont la dimension de Krull est égale au nombre minimal de générateurs de son idéal maximal m ; de façon équivalente, R a une dimension homologique (globale) finie égale à cette dimension de Krull.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La régularité s'organise autour de l'égalité entre la dimension géométrique intrinsèque (dimension de Krull) et la dimension d'immersion (nombre minimal de générateurs de m) ; cette égalité traduit une finitude homologique et l'absence de relations dépendantes entre les paramètres locaux.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

L'anneau des séries formelles k[[x1,...,xn]] ou la localisation k[x1,...,xn]_{(x1,...,xn)} sont des anneaux locaux réguliers de dimension n : leur idéal maximal est engendré par les paramètres coordonés et la dimension homologique globale vaut n.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Affirmer qu'un anneau est régulier parce que son idéal maximal peut être engendré par n éléments sans vérifier l'hypothèse noethérienne ou l'égalité avec la dimension de Krull ; confondre un élément régulier ou une suite régulière avec la régularité de l'anneau local.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les modules sur un anneau local régulier ont des dimensions projectives finies bornées par la dimension de l'anneau ; ces anneaux sont Cohen–Macaulay et leur spectre est lisse au point fermé, ce qui facilite le comportement des déformations et des intersections.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un anneau local irrégulier (singulier) a une dimension d'immersion strictement supérieure à sa dimension de Krull ; de tels anneaux présentent des pathologies homologiques (dimensions projectives infinies pour certains modules) et modélisent localement des singularités.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique uniquement aux anneaux locaux noethériens ; exclut les anneaux non noethériens, les anneaux non locaux (sauf en appliquant la notion aux localisés en idéaux maximaux) et les assertions de lissité globale pour des schémas non affines sans vérification locale.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Le mot « régulier » peut aussi signifier « lisse » en géométrie ou « non singulier » en langage courant ; ici il désigne une égalité technique et homologique précise, pas une propriété vague de 'bon comportement'.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un anneau local régulier est un modèle local noethérien dont la dimension coïncide avec le nombre minimal de paramètres locaux — ou, de manière équivalente, un anneau de dimension homologique finie — et représente algébriquement un point non singulier.