##  [Propriété Gorenstein](/fr/node/63869) 

 Définition

Propriété d'un anneau noethérien (ou local) caractérisée par une symétrie de ses invariants homologiques ; dans le cas local noethérien un anneau est Gorenstein s'il a une dimension injective finie en tant que module sur lui‑même, souvent égale à sa dimension de Krull.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Autodualité du point de vue homologique : l'anneau se comporte comme son propre objet dualisant, de sorte que Ext et la cohomologie locale présentent des schémas symétriques et que le module canonique est particulièrement simple.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Un anneau local régulier est Gorenstein. Plus généralement, un anneau hypersurface R = S/(f) avec S régulier et f un non‑diviseur de zéro est Gorenstein ; ces anneaux ont un module canonique de rang un et un comportement symétrique des Ext.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prendre la propriété Gorenstein pour équivalente à Cohen–Macaulay ; bien que tout anneau local noethérien Gorenstein soit Cohen–Macaulay, la réciproque est en général fausse (il existe des anneaux Cohen–Macaulay non Gorenstein).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les anneaux Gorenstein admettent un module dualisant simple avec des propriétés de symétrie fortes ; cela simplifie les énoncés de dualité, rend les motifs d'Ext prévisibles et facilite la classification des singularités.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un anneau non Gorenstein peut être Cohen–Macaulay mais manquer d'autodualité ; sa dimension injective est plus grande ou infinie et le module canonique peut être plus compliqué ou inexistant.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Formulé le plus souvent pour des anneaux noethériens (en particulier locaux ou gradués) ; en contextes non noethériens ou non commutatifs il faut adapter la définition et les hypothèses avec précaution.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre Gorenstein, Cohen–Macaulay et intersection complète : ces conditions se recouvrent mais sont distinctes ; la propriété Gorenstein se situe souvent strictement entre intersection complète et Cohen–Macaulay dans les hiérarchies habituelles.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La propriété Gorenstein exprime une autodualité homologique : l'anneau a une dimension injective finie et un module canonique simple, entraînant des phénomènes de dualité et de symétrie d'Ext qui restreignent ses singularités et sa cohomologie.