##  [Injectivité](/fr/node/63861) 

 Définition

Un module E sur un anneau R est injectif si tout morphisme R-linéaire défini sur un sous-module de n'importe quel module se prolonge au module entier. Équivalemment Hom_R(−,E) est exact ou Ext1_R(−,E) = 0 ; les injectifs jouent souvent le rôle de cogénérateurs et satisfont à des critères d'extension de type Baer.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Propriété d'extension des morphismes : les modules injectifs absorbent les applications définies sur des sous-structures sans obstruction, servant de récipients pour les extensions et permettant de tester les problèmes d'extension en mappant vers un injectif.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Comme modules sur Z, Q/Z est un cogénérateur injectif : tout homomorphisme défini sur un sous-groupe d'un groupe abélien s'étend dans Q/Z suivant le critère de Baer. Sur un corps, tous les espaces vectoriels sont injectifs et projectifs, donc les problèmes d'extension se trivialisent.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre injectivité avec être monomorphe ou avec la projectivité ; les injectifs ne sont pas nécessairement libres ni de type fini, et traiter les injectifs comme des duaux des projectifs sans tenir compte du contexte de l'anneau est trompeur.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Disposer d'assez d'injectifs permet de calculer les foncteurs dérivés à droite comme Ext via des résolutions injectives ; les enveloppes injectives fournissent des extensions minimales canoniques et sont centrales dans la classification des modules et des théorèmes de décomposition.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Les modules non injectifs font obstacle à l'extension : il existe des morphismes définis sur des sous-modules qui ne se prolongent pas, produisant des classes d'extension non triviales et nécessitant des constructions dérivées droites pour mesurer l'échec.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

L'injectivité est une propriété catégorielle et homologique qui dépend fortement de l'anneau ambiant ; l'existence d'enveloppes injectives et d'assez d'injectifs vaut dans les catégories de modules sur des anneaux mais peut échouer dans des catégories abéliennes plus exotiques sans hypothèses supplémentaires.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre 'injectif' au sens algébrique d'extension et l'usage topologique/élémentaire d'« injectif » signifiant injectif (un à un) ; ici injectif renvoie à la capacité d'extension, pas à l'injectivité des morphismes. Tension aussi avec projectif : notions duales mais asymétriques sur des anneaux non autoduals.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'injectivité est la propriété selon laquelle tout morphisme depuis un sous-module se prolonge au module entier ; c'est la notion homologique réceptrice duale de la projectivité et elle fonde les résolutions injectives, enveloppes et la théorie des extensions.