## [Projectivité](/fr/node/63859) Définition Un module P sur un anneau R est projectif s'il est un facteur direct d'un module libre ; équivalemment P possède la propriété de relèvement : pour toute surjection M → N et tout morphisme P → N, il existe un relèvement P → M. Homologiquement, cela équivaut à Ext1_R(P,−) = 0. ## Principe Principe Les projectifs scindent les surjections : les applications provenant d'un projectif se factorisent à travers des surjections, reflétant une capacité voisine de la liberté à lever des relations et à rendre certaines suites exactes scindées quand P est un facteur direct. ## Démonstration Démonstration Z est projectif comme Z-module (en fait libre de rang 1). Sur un anneau local, tout module projectif de type fini est libre, de sorte que la projectivité se réduit à une condition de base classique ; en revanche Z/2Z n'est pas projectif sur Z. ## Mauvaise application Mauvaise application Prétendre que tout module projectif est libre sans hypothèse sur l'anneau ; sur des anneaux non locaux et non principaux existent des projectifs non libres. Confondre projectif et injectif mélange des rôles homologiques duals. ## Conséquence Conséquence Les modules projectifs simplifient l'algèbre homologique : ils admettent des résolutions projectives courtes, annulent Ext^1 et permettent le scindage de suites exactes dans lesquelles ils apparaissent comme facteur direct, facilitant classification et relèvement. ## Inversion Inversion Les modules non projectifs ne peuvent pas toujours relever des applications à travers des surjections et peuvent produire des extensions non triviales mesurées par les groupes Ext ; les problèmes de scindage ou de relèvement deviennent obstructés et nécessitent des résolutions plus longues. ## Limite Limite La projectivité est en général plus forte que la platitude et n'implique pas la finitude sauf précision ; beaucoup d'énoncés finitude ou géométriques demandent en outre que le projectif soit de type fini ou de présentation finie. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre la notion abstraite d'un projectif homologique et l'intuition concrète de « libre » : sur certains anneaux les notions coïncident, tandis que sur d'autres existent des projectifs non libres porteurs d'informations arithmétiques ou géométriques fines. ## Synthèse Synthèse La projectivité signifie être facteur direct d'un module libre, ou encore posséder la propriété de relèvement pour les surjections ; cela fournit des modules scindant les suites exactes et annulant les obstructions homologiques au premier ordre.