##  [Déformation D'Algèbre](/fr/node/63851) 

 Définition

Processus de variation de la multiplication, des relations ou des constantes de structure d'un objet algébrique de manière continue ou formelle (souvent via un paramètre) pour produire une famille d'algèbres voisines et étudier la déformation des propriétés algébriques.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Coder les changements infinitésimaux par des données cohomologiques de sorte que les déformations du premier ordre correspondent à des cocycles et que les obstructions à l'extension résident dans des groupes de cohomologie d'ordre supérieur ; utiliser des séries formelles ou des familles plates comme modèles de déformation.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Une algèbre associative A admet une déformation formelle m_t = m_0 + t m_1 + t^2 m_2 + … où m_1 est un 2-cocycle de Hochschild ; l'annulation des classes d'obstruction en cohomologie de Hochschild permet l'extension aux ordres supérieurs et donne des déformations non triviales comme des quantifications.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que toute déformation infinitésimale s'intègre en une famille réelle (en ignorant les obstructions) ou traiter des perturbations arbitraires des constantes de structure comme des déformations sans vérifier l'associativité, l'existence d'unitaire ou la platitude de la famille.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Des déformations correctement conduites peuvent produire de nouvelles structures algébriques avec une théorie de représentations ou une géométrie enrichie (par exemple des quantifications), révéler la rigidité ou la souplesse de l'algèbre initiale et relier des objets apparemment distincts par des chemins de déformation.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inverse est la rigidité : lorsque toutes les classes de déformation s'annulent et que toute déformation formelle est triviale, l'algèbre résiste à des structures voisines non triviales et aucune famille continue non triviale ne passe par elle.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux structures algébriques associatives, de Lie, graduées ou plus générales capables d'interpréter des familles formelles ou analytiques ; ne couvre pas des perturbations arbitraires discontinues et ne s'applique pas automatiquement aux déformations géométriques d'espaces sous-jacents sans traduction des structures.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre théorie de la déformation et théorie des extensions : les déformations étudient des structures voisines paramétrées formellement/continûment, tandis que les classes d'extension et de cohomologie peuvent être confondues avec les déformations bien qu'elles répondent à des questions de classification distinctes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La déformation d'algèbre considère des variations contrôlées, souvent gouvernées par la cohomologie, de la structure algébrique comme des familles paramétrées par de petits paramètres formels, révélant la théorie des obstructions, les quantifications possibles et la rigidité ou souplesse de l'algèbre initiale.