##  [Antisymétrisation](/fr/node/63831) 

 Définition

Opération sur un tenseur ou une forme multilinéaire qui projette sur sa partie alternée (antisymétrique) en prenant la somme signée sur les permutations des arguments, produisant un objet qui change de signe sous les permutations impaires.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Utiliser l'alterateur A = (1/n!) ∑_{σ∈S_n} sgn(σ) σ ; cet opérateur est idempotent en caractéristique où n! est inversible et donne des éléments vérifiant T(...,x_i,...,x_j,...) = −T(...,x_j,...,x_i,...) et s'annulant si deux arguments coïncident.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour v⊗w dans V⊗V, l'antisymétrisation donne (v⊗w − w⊗v)/2, correspondant à un élément de Λ^2(V) ; appliquée aux fonctions elle produit des formes multilinéaires alternées utilisées pour les déterminants et les produits en coin.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

En caractéristique 2 l'homomorphisme signe est trivial, donc l'antisymétrisation par sgn(σ) se réduit à la sommation ordinaire et échoue à isoler les parties antisymétriques ; omettre la division par n! lorsque nécessaire invalide l'idempotence.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Donne les puissances extérieures et les formes multilinéaires alternées centrales pour les déterminants, les formes différentielles et l'algèbre homologique ; garantit l'annulation sur arguments répétés et encode la variation de signe sous permutations.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'opposé naturel est la symétrisation, qui fait la moyenne sans signe et produit les composantes invariantes par permutation ; antisymétrisation et symétrisation décomposent les puissances tensorielles en composantes complémentaires lorsque les factorielles sont inversibles.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux contextes multilinéaires et aux puissances tensorielles ; il faut tenir compte des anneaux de base de petite caractéristique où les factorielles s'annulent, et noter que 'skew-symmetric' et 'alternating' coïncident sous certaines hypothèses (par exemple caractéristique ≠ 2) mais peuvent diverger.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Distinguer 'alternant' (s'annule si les arguments se répètent) de 'antisymétrique' (change de signe sous échanges) : sur des corps de caractéristique non 2 les notions sont équivalentes, mais en caractéristique 2 il n'y a pas de changement de signe et les notions se séparent.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'antisymétrisation est le projecteur par moyenne signée qui extrait la composante antisymétrique d'un objet multilinéaire, produisant des puissances extérieures et des formes qui s'annulent sur entrées répétées et se transforment selon le signe des permutations.