##  [Algèbre Simple Centrale](/fr/node/63790) 

 Définition

Une algèbre associative de dimension finie A sur un corps F qui est simple (n'a pas d'idéaux bilatères non triviaux) et dont le centre est exactement F, c'est-à-dire Z(A)=F.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La centralité et la simplicité contraignent A à être, à isomorphisme près, une algèbre de matrices sur une algèbre à division dont le centre est F ; cette combinaison contrôle à la fois la structure des idéaux internes et la commutation avec les scalaires.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Toute algèbre de la forme M_n(D), où D est une algèbre à division de dimension finie et de centre F, est une algèbre simple centrale sur F ; sur un corps algébriquement clos, toute algèbre simple centrale est isomorphe à M_n(F).

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Qualifier d'« algèbre simple centrale » une algèbre dont le centre contient strictement le corps de base ou qui possède des idéaux bilatères non nuls, ou confondre 'centrale' et 'simple' pris séparément.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les algèbres simples centrales s'organisent en éléments du groupe de Brauer de F ; leurs dimensions sont des carrés parfaits et leurs catégories de modules sont bien comprises via la théorie de Morita.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une algèbre simple mais non centrale (centre plus grand que le corps de base) ou centrale mais non simple (possédant des idéaux bilatères propres) s'oppose à la condition d'algèbre simple centrale.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige la finitude de la dimension et l'associativité sur un corps fixé ; exclut les algèbres de dimension infinie, les algèbres non associatives et les algèbres dont le centre est une extension propre du corps de base.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre 'simple' et 'simple centrale', et entre algèbres de matrices sur le corps de base et algèbres de matrices sur des algèbres à division non triviales ; ces distinctions sont cruciales pour la classification et en théorie de Brauer.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une algèbre simple centrale est une algèbre associative de dimension finie sur F, à la fois simple et de centre F, d'où elle s'identifie, à isomorphisme près, à une algèbre de matrices sur une algèbre à division centrale.