##  [Algèbre Von Neumann](/fr/node/63784) 

 Définition

Une algèbre de Von Neumann (W*‑algèbre) est une *‑sous‑algèbre de B(H), les opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H, qui contient l'identité et est fermée pour la topologie faible (ou forte) des opérateurs ; équivalemment, par le théorème du bicommutant, elle coïncide avec son bicommutant. Les algèbres de Von Neumann possèdent souvent un prédual et une riche théorie des projecteurs.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Principe topologique/représentationnel : la clôture pour la topologie faible des opérateurs et l'action sur un espace de Hilbert (ou la caractérisation par bicommutant) déterminent la structure ; l'accent est mis sur les propriétés opératorielles et mésurables plutôt que purement normiques.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : L∞(X,μ) agissant par multiplication sur L2(X,μ) est une algèbre de Von Neumann commutative ; des représentations unitaires de groupes engendrent des algèbres de Von Neumann via la clôture faible de l'algèbre d'opérateurs engendrée par la représentation.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre clôture pour la norme avec clôture pour la topologie faible des opérateurs — considérer une C*-algèbre fermée pour la norme comme une algèbre de Von Neumann sans représentation sur espace de Hilbert et topologie d'opérateurs appropriée est erroné.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les algèbres de Von Neumann admettent une classification fine (types I, II, III), une théorie riche des projecteurs, la théorie modulaire et des liens profonds avec la mécanique statistique quantique et la théorie de la mesure non commutative ; elles fournissent un cadre canonique pour les algèbres d'opérateurs agissant sur des espaces de Hilbert.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La notion inverse est celle d'une C*-algèbre : sous‑algèbres * fermées pour la norme de B(H) qui peuvent ne pas être faiblesment fermées ; ces algèbres n'ont pas les propriétés de bicommutant et de clôture topologique centrales en théorie de Von Neumann.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'exprime via une représentation sur un espace de Hilbert et la clôture pour une topologie faible sur les opérateurs ; les C*-algèbres abstraites sans représentation spécifiée ou sans prédual sont hors de la catégorie des algèbres de Von Neumann, et la séparabilité ou la classification en types imposent d'autres contraintes.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension sémantique entre algèbre de Von Neumann et C*-algèbre : toutes deux sont des *‑algèbres d'opérateurs mais diffèrent par la topologie de clôture et par des propriétés catégoriques (prédual, bicommutant) qui rendent leurs théories complémentaires mais distinctes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une algèbre de Von Neumann est une algèbre d'opérateurs sur un espace de Hilbert fermée pour la topologie faible des opérateurs et caractérisée par son bicommutant ; sa structure de projecteurs, ses données modulaires et sa dépendance à la représentation lui confèrent un caractère mésurable distinct des algèbres d'opérateurs fermées pour la norme.