##  [Coalgèbre](/fr/node/63780) 

 Définition

Une coalgèbre sur un corps ou un anneau est un espace vectoriel C muni d'une comultiplication Δ: C→C⊗C et d'une co‑unité ε: C→k satisfaisant la coassociativité ((Δ⊗id)∘Δ=(id⊗Δ)∘Δ) et les axiomes de co‑unité ((ε⊗id)∘Δ=id=(id⊗ε)∘Δ). C'est la notion duale catégorique d'une algèbre lorsque l'on inverse les flèches.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Principe de dualité : la structure de coalgèbre inverse la direction des morphismes algébriques — la composition et le produit tensoriel se reflètent par la coassociativité ; les coreprésentations (comodules) dualisent la théorie des modules.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple concret : le dual linéaire d'une algèbre associative de dimension finie hérite d'une structure de coalgèbre ; les coalgèbres de chemins (path coalgebras) d'un quiver donnent des exemples combinatoires où la comultiplication scinde un chemin en préfixe et suffixe.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que le dual algébrique d'une algèbre de dimension infinie est automatiquement une coalgèbre sans imposer de topologie ou sans restreindre aux fonctionnelles coreprésentables.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les coalgèbres organisent les comodules et coreprésentations, permettent des constructions de cohomologie et de corings, et servent à dualiser des opérations algébriques en dimension finie.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

En inversant les flèches on retrouve la notion d'algèbre : des applications qui multiplient et possèdent une unité plutôt que des applications qui comultiplicationnent et ont une co‑unité ; la différence porte sur la direction des flèches.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Formulée typiquement de manière algébrique sur un anneau ou un corps de base ; de nombreux énoncés de dualité exigent la finitude de dimension ou des duals topologiques en dimension infinie ; une coalgèbre n'est pas nécessairement pourvue d'une structure d'algèbre sauf si des applications supplémentaires sont fournies.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre coalgèbre et algèbre : bien que formellement duales, des différences pratiques (existence de duals, conditions de finitude) empêchent l'interchangeabilité dans les cadres de dimension infinie.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une coalgèbre fournit sur un espace linéaire des opérations de scission coassociatives et une co‑unité, constituant le pendant conceptuel dual de l'algèbre et offrant le langage catégorique pour les coreprésentations et constructions cohomo‑logiques.