##  [Algèbre Graduée](/fr/node/63772) 

 Définition

Une algèbre décomposée en somme directe de composantes homogènes A = ⊕_{d∈D} A_d indexées par des degrés (souvent D = entiers ≥0 ou Z) telles que le produit envoie A_i × A_j dans A_{i+j} ; les éléments sont des sommes de pièces homogènes.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La graduation organise les éléments par degré et impose l'additivité des degrés comme règle de multiplication ; elle permet des constructions homologiques sensibles au degré, des modules gradués et des filtrations issues de troncatures.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

L'algèbre polynomial K[x] est graduée par le degré avec K[x]_d l'espace des polynômes homogènes de degré d. L'algèbre extérieure ∧V est graduée et la multiplication fait croître le degré.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre une graduation avec une filtration ou supposer que toute décomposition en somme directe est multiplicative conduit à des erreurs ; un autre abus est d'ignorer des questions de convergence de sommes directes en degré infini.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une graduation fournit des modules gradués, des homomorphismes gradués, des arguments par suites spectrales et simplifie souvent les calculs en travaillant degré par degré ; des invariants comme la série de Hilbert encodent les dimensions graduées.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le contraire est une algèbre non graduée ou filtrée où seule une famille emboîtée de sous-espaces est donnée mais pas de décomposition en pièces homogènes exactes, ce qui modifie les techniques disponibles.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige une véritable décomposition en somme directe indexée par des degrés avec multiplication respectant l'addition des degrés ; exclut les filtrations, les graduations non respectées par la multiplication et les décompositions incompatibles avec la structure d'algèbre.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension subtile entre structures graduées et filtrées : de nombreux théorèmes valent dans un contexte gradué mais doivent être remplacés ou récupérés (par exemple via l'associé gradué) dans le contexte filtré.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une algèbre graduée est une algèbre stratifiée en composantes homogènes de degrés, dont la multiplication respecte l'addition des degrés ; cette structure permet une analyse par degré, des modules gradués et des invariants exploitant l'homogénéité.