##  [Algèbre Associative Unitaire](/fr/node/63770) 

 Définition

Une algèbre associative qui contient un élément identité multiplicatif distingué 1 tel que 1·a = a·1 = a pour tout élément a. L'unité fait partie des données algébriques et sert à définir les homomorphismes et modules unitaires.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La présence d'une unité permet des actions de type scalaire, définit des structures de modules unitaires et autorise l'identification de l'algèbre avec une sous-algèbre de son algèbre d'endomorphismes via la multiplication à gauche (ou à droite) préservant l'unité.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

L'algèbre des matrices M_n(K) possède la matrice identité I_n qui agit neutralement sur toute matrice par multiplication. L'algèbre de groupe K[G] contient l'élément identité du groupe comme unité algébrique.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer qu'une algèbre associative possède automatiquement une unité ou traiter un idéal (une sous-algèbre non unitaire) comme unitaire entraîne des conclusions erronées ; une autre erreur est de supposer que l'unité est nécessairement centrale.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Avec une unité on peut parler de modules unitaires, d'homomorphismes d'algèbres préservant 1, d'éléments inversibles, et les unités forment un groupe multiplicatif ; de nombreux théorèmes structurels supposent implicitement l'existence d'une unité.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Les algèbres non unitaires (ou rng) n'ont pas d'identité multiplicative globale ; certaines constructions adjoignent une unité ou travaillent avec des unités locales, ce qui modifie les catégories de modules et les notions d'homomorphisme.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Le concept exige un élément identité bilatéral unique à l'intérieur de l'algèbre ; les algèbres n'ayant qu'une identité à un seul côté, ou celles qui ne deviennent unitaires qu'après adjonction d'un élément, sont hors de la définition stricte.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre le travail dans la catégorie des algèbres unitaires et celle des algèbres augmentées ou non unitaires : certaines constructions universelles exigent l'unité tandis que d'autres sont plus naturelles en l'absence d'unité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une algèbre associative unitaire est une algèbre associative munie d'une identité multiplicative bilatérale distinguée qui permet les notions usuelles d'homomorphismes préservant l'unité, d'éléments inversibles et de modules unitaires.