##  [Régulateur de Beilinson](/fr/node/63762) 

 Définition

Un homomorphisme (ou une famille d'homomorphismes) des groupes de K-théorie algébrique supérieure ou de la cohomologie motivique d'une variété vers la cohomologie de Deligne, la cohomologie réelle ou d'autres réalisations analytiques/cohomologiques, codant l'information arithmétique et des périodes des cycles algébriques.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Faire le lien entre l'information algébrique et arithmétique (classes de K-théorie ou motiviques) et les invariants analytiques (périodes, régulateurs) en extrayant des classes en cohomologie réelle ou de Hodge mixte qui reflètent des valeurs spéciales de fonctions L et des accouplements de hauteurs.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une courbe projective lisse, le régulateur de Beilinson sur K_2 ou la cohomologie motivique H^2 produit des éléments en cohomologie de Deligne dont les périodes réelles sont les régulateurs elliptiques ou de Bloch classiques ; ces nombres apparaissent conjecturalement dans des formules liant régulateurs et L'(E,0) ou d'autres valeurs spéciales.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prétendre que l'application est injective ou surjective en général, ou la confondre avec le caractère de Chern : le régulateur de Beilinson est subtil, dépend de structures de Hodge mixtes ou motiviques, et peut avoir de larges noyaux ou conoyaux ; les variantes p-adiques se comportent différemment.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit des invariants arithmétiques reliant cycles algébriques et motifs à des quantités analytiques ; sous des conjectures il explique les relations entre K-théorie, valeurs de fonctions L et hauteurs, et il fournit des régulateurs concrets utilisés dans des calculs arithmétiques explicites.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Il n'existe pas d'inverse algébrique canonique permettant de retrouver les classes motiviques à partir des images du régulateur : les réalisations analytiques oublient les données intégrales et d'extensions motiviques, si bien qu'inverser le régulateur est généralement impossible sans structure supplémentaire ou identifications conjecturales.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini lorsque des structures de Hodge mixtes, la cohomologie de Deligne ou des réalisations appropriées existent : il nécessite un traitement soigneux pour les variétés singulières, les schémas non projectifs ou en cadre p-adique où l'on utilise des régulateurs syntomiques ou p-adiques aux propriétés formelles différentes.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Entre en concurrence conceptuelle avec d'autres applications régulatrices (Borel, Soulé, syntomique) et avec les applications classe de cycle ; la tension vient de la dichotomie entre descriptions analytiques/par périodiques et descriptions purement algébriques/motives d'un même phénomène arithmétique.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le régulateur de Beilinson est la carte des périodes qui relie invariants algébriques supérieurs aux cohomologies analytiques : il extrait des données réelles ou de Hodge mixte des classes motiviques, produisant des nombres régulateurs qui lient la géométrie algébrique des cycles aux valeurs spéciales et aux hauteurs, tout en perdant les données intégrales et d'extension.