##  [Homologie Cyclique](/fr/node/63730) 

 Définition

Un raffinement de l'homologie de Hochschild qui prend en compte la symétrie cyclique pour détecter des phénomènes de périodicité et relier à des invariants de type de Rham ; l'homologie cyclique HC_* se construit à partir des chaînes de Hochschild en formant un complexe mixte ou un quotient par l'action cyclique.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Incorporer l'action du groupe cyclique sur les puissances tensorielles ou utiliser l'opérateur B de Connes pour assembler un complexe mixte (b,B) dont l'homologie cyclique capture la périodicité, les invariants de type trace et les relations avec les formes différentielles et les formules d'indice.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une algèbre commutative lisse de fonctions sur une variété, l'homologie cyclique retrouve la cohomologie de de Rham après complétion ou périodisation appropriée ; concrètement, le complexe mixte (C_*(A),b,B) calcule HC_* et se relie aux formes différentielles via l'application de Hochschild–Kostant–Rosenberg.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Oublier d'inclure l'opérateur B ou l'action du groupe cyclique en passant de Hochschild à cyclique, perdant ainsi l'information de périodicité et le lien avec les invariants de type de Rham.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

L'homologie cyclique fournit des invariants sensibles aux traces et à la périodicité, sert de cible pour les caractères de Chern provenant de la K-théorie et fait le pont entre géométrie non commutative et formes différentielles dans des cadres algébriques et topologiques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Retirer la structure cyclique ramène à l'homologie de Hochschild, qui conserve les données locales tensorielles de trace mais omet les raffinements périodiques ou de type de Rham que la théorie cyclique rétablit.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux algèbres associatives, aux algèbres dg et aux algèbres topologiques en tenant compte des complétions et des opérateurs de périodicité ; l'usage naïf sans complétions, périodisation ou traitement des produits tensoriels topologiques peut manquer des invariants essentiels.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'homologie cyclique comme invariant analytique/de Rham et comme foncteur dérivé algébrique : les constructions privilégient soit les complétions topologiques et la périodicité, soit les complexes mixtes purement algébriques, ce qui affecte l'applicabilité et l'interprétation.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'homologie cyclique est le raffinement cyclique de l'homologie de Hochschild, obtenu en ajoutant l'opérateur de Connes ou en quotientant par l'action cyclique ; elle détecte périodicité et invariants de type de Rham et fait le lien entre traces algébriques, formes géométriques et caractères de Chern en K-théorie.