##  [Homologie de Hochschild](/fr/node/63728) 

 Définition

Une théorie d'homologie pour les algèbres associative (et plus généralement pour les bimodules) qui mesure l'auto-interaction, les traces et les informations de déformation ; HH_*(A) se calcule à partir du complexe de chaînes de Hochschild de A à coefficients dans A lui-même.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Assembler un complexe de chaînes organisé cycliquement dont la différentielle enregistre la multiplication et les permutations cycliques de sorte que les groupes de bas degré captent les centres et les traces tandis que les degrés supérieurs détectent les obstructions aux déformations et les opérations supérieures.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une algèbre associative A sur un anneau k, le complexe de chaînes de Hochschild C_n(A)=A^{⊗(n+1)} muni de la différentielle de Hochschild donne HH_n(A)=H_n(C_*(A)) ; HH_0(A) est A/[A,A] (l'espace des traces) et HH_1(A) est lié aux dérivations modulo les dérivations intérieures.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Traiter l'homologie de Hochschild comme une homologie purement topologique sans tenir compte de la structure multiplicative de l'algèbre, ou ignorer les coefficients bimodulaires nécessaires, ce qui fait perdre les données de trace/déformation.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Un calcul correct de l'homologie de Hochschild fournit des invariants algébriques pour la classification, constitue le réceptacle des caractères de Chern, et sert d'entrée à l'homologie cyclique et aux formalismes de quantification par déformation.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le dual cohomologique (la cohomologie de Hochschild HH^*(A)) contrôle les déformations et possède des structures d'algèbre graduée et de Gerstenhaber, tandis que l'homologie rassemble des invariants de type trace et cycliques ; les deux sont liés mais non interchangeables.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie pour les algèbres associatives, les algèbres dg et les bimodules ; une extension naïve à des contextes non associatifs exige des complexes ajustés, et les puissances tensorielles infinies nécessitent des complétions ou des hypothèses de finitude.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'homologie de Hochschild vue comme réceptacle des traces et comme foncteur dérivé (Tor sur A^e) ; ces points de vue coïncident formellement mais mettent l'accent sur des outils computationnels et conceptuels différents.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'homologie de Hochschild est l'invariant au niveau chaîne d'une algèbre associative construit à partir des tenseurs de l'algèbre avec une différentielle codant la multiplication et la structure cyclique ; elle enregistre traces, obstructions aux dérivations et données pertinentes pour les déformations.