##  [Construction Cobar](/fr/node/63725) 

 Définition

Un dual à niveau de cochaînes de la construction bar qui fabrique des modèles d'algèbres ou de coalgèbres différentielles graduées à partir de coalgèbres counitales ou d'algèbres différentielles graduées augmentées, utilisé pour calculer Ext, la cohomologie et modéliser des types d'homotopie.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Former l'algèbre libre (ou coalgèbre libre) sur les cogénérateurs désuspendus avec une différentielle induite par le coproduit et la counité, de sorte que l'objet différentiel gradué résultant encode les coextensions, les codérivations et les données cohomologiques.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une coalgèbre différentielle graduée counitale C, la construction cobar ΩC est l'algèbre différentielle graduée dont l'algèbre tensorielle sous-jacente sur la désuspension de C^+ porte une différentielle déterminée par le coproduit ; sa cohomologie calcule des groupes Ext et modélise l'homotopie rationnelle dans des contextes appropriés.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer cobar à une coalgèbre sans contrôler la croissance ou les complétions (par exemple des sommes infinies de cogénérateurs) peut produire une algèbre non convergente ou dont la cohomologie ne capture pas l'information dérivée souhaitée.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Bien utilisée, la construction cobar fournit des modèles de cochaînes explicites pour Ext et la cohomologie, produit des modèles minimaux en cadres rationnels ou différentiel gradués, et réalise des dualités avec le complexe bar.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Passer aux duals linéaires d'une construction cobar (lorsque des conditions de type fini sont satisfaites) retrouve des complexes de type bar et des calculs de Tor plutôt que de l'Ext cohomologique.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux dg-coalgèbres counitales, aux coalgèbres conilpotentes et aux algèbres dg augmentées sous hypothèses de finitude ou de complétude ; exclut l'application sans prise en compte de la conilpotence, des filtrations ou des problèmes de convergence.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre cobar comme dual algébrique fournissant des modèles cohomologiques et les constructions homotopiques de modèles qui donnent des informations équivalentes mais diffèrent par les conditions de finitude et les complétions requises.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La construction cobar est le dual de cochaînes de la recette bar : elle assemble librement des cogénérateurs désuspendus en une algèbre différentielle graduée dont la différentielle encode la structure de coalgèbre afin de calculer la cohomologie et les invariants de type Ext.