##  [Équivalence de Catégories](/fr/node/63716) 

 Définition

Un foncteur F : C → D est une équivalence de catégories s'il est pleinement fidèle (induit des bijections sur les hom-ensembles) et essentiellement surjectif (tout objet de D est isomorphe à F(c) pour quelque c dans C) ; l'équivalence identifie les catégories à isomorphisme d'objets près plutôt qu'à égalité stricte.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'équivalence traduit l'idée de « même structure mathématique » à isomorphisme cohérent près : les invariants et constructions invariants par isomorphisme coïncident entre catégories équivalentes.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : l'inclusion d'un skeleton (sous-catégorie pleine contenant un représentant par classe d'isomorphisme) dans une catégorie est une équivalence ; la catégorie des ensembles finis est équivalente à son skeleton dont les objets sont les entiers naturels (cardinalités).

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer des catégories équivalentes comme strictement égales en tant qu'ensembles d'objets et de morphismes, ou s'attendre à ce qu'une équivalence préserve des constructions de façon stricte plutôt qu'à isomorphisme ; confondre équivalence et adjonction plus faible.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les propriétés et invariants définis à isomorphisme près (par exemple la représentabilité, l'existence de limites à isomorphisme près, les invariants dérivés) sont préservés par une équivalence ; les constructions se transportent sans perte d'information essentielle.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

En contraste, un foncteur pleinement fidèle mais non essentiellement surjectif, ou essentiellement surjectif mais non pleinement fidèle, ne donne pas d'équivalence : aucun des deux ne garantit la préservation de toutes les données invariantes par iso.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

L'équivalence suppose des catégories avec isomorphismes et fait abstraction des choix de petite taille ou des skeletons ; elle n'affirme pas une égalité point par point des objets, et des structures plus fines (limites choisies, enrichissements stricts) peuvent ne pas se transporter sans données supplémentaires.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

L'équivalence se situe entre l'isomorphisme de catégories (notion plus stricte nécessitant un inverse strict) et des correspondances plus faibles (comme les adjonctions) ; la tension pratique apparaît quand on exige des égalités strictes plutôt que des classes d'isomorphisme.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'équivalence de catégories formalise quand deux structures catégorielles codent la même théorie à isomorphisme près : un foncteur pleinement fidèle et essentiellement surjectif permet de transporter les constructions invariantes par iso et d'identifier les catégories comme équivalentes pour la plupart des usages mathématiques.