##  [Transformée de Fourier-Mukai](/fr/node/63712) 

 Définition

Un transformeur intégral entre catégories dérivées bornées de faisceaux cohérents D^b(X) → D^b(Y) déterminé par un objet (le noyau) P dans D^b(X×Y) ; il envoie F ∈ D^b(X) sur Rπ_{Y*}(π_X^*F ⊗^L P) et encode des correspondances entre X et Y au niveau dérivé.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les noyaux intégraux se composent par convolution dérivée sur produits fibrés, de sorte que la composition des transformées Fourier–Mukai correspond à la convolution des noyaux ; lorsque le noyau satisfait des conditions de propreté et de perfection, la transformée est exacte et peut donner des équivalences (partenaires Fourier–Mukai).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : pour des variétés abéliennes duales A et  la ligne de Poincaré P sur A× définit une équivalence Fourier–Mukai D^b(A) ≅ D^b(Â) ; les faisceaux skyscraper se transforment en fibrés vectoriels stables ou en fibrés en droites translatés selon le noyau, reflétant des phénomènes de l’analyse de Fourier classique en géométrie algébrique.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Traiter la transformée comme une transformée de Fourier point par point ou naïve en ignorant pullback/pushforward dérivés, conditions de Tor sur le produit tensoriel, ou utiliser des noyaux non parfaits/non propres qui brisent la bornitude et la cohérence ; présumer qu’une application birationnelle induit toujours une équivalence Fourier–Mukai sans vérifier l’existence du noyau et les conditions de finitude.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une source puissante d’équivalences dérivées, identifie des espaces de modules, transfert des conditions de stabilité et des invariants, et induit des isomorphismes sur l’homologie/cohomologie de Hochschild et sur de nombreux invariants numériques quand une équivalence est réalisée.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L’inverse d’une équivalence Fourier–Mukai est de nouveau une transformée Fourier–Mukai avec le noyau adjoint (dualité dérivée et permutation) ; si aucun noyau adjoint satisfaisant les conditions de finitude n’existe, la transformée peut être pleinement fidèle mais pas essentiellement surjective, donnant des plongements plutôt que des équivalences.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Fonctionne pour les catégories dérivées de faisceaux cohérents sous hypothèses de propreté, de dimension Tor finie et de noyaux parfaits ; échoue ou doit être remplacée pour des catégories non bornées, des coefficients non cohérents ou des noyaux sans conditions de finitude, et demande de la prudence sur les espaces singuliers.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent comparée à la transformée de Fourier classique sur des espaces de fonctions : les deux utilisent des noyaux intégrales et la convolution, mais Fourier–Mukai vit en géométrie algébrique dérivée et manipule des complexes et des image directe/recule dérivés plutôt que des intégrales oscillatoires ponctuelles.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une transformée Fourier–Mukai est un foncteur intégral défini par noyau entre catégories dérivées qui réalise des correspondances géométriques comme convolutions dérivées ; sous des hypothèses de finitude et de perfection, elle fournit des équivalences profondes reliant géométrie, modules et invariants homologiques.