## [Dualité de Tannaka](/fr/node/63705) Définition Un principe de dualité et un théorème de reconstruction qui permet de retrouver un objet algébrique (par exemple un groupe proalgébrique, un schéma en groupes ou une algèbre de Hopf) à partir d'une catégorie tensorelle de ses représentations linéaires suffisamment rigide munie d'un foncteur fibre vers les espaces vectoriels. ## Principe Principe La structure tensorielle et les transformations naturelles dans la catégorie des représentations codent la multiplication, la comultiplication et d'autres applications structurales de l'objet de symétrie original ; fournir un foncteur fibre donne la réalisation concrète nécessaire pour reconstruire cet objet. ## Démonstration Démonstration Pour un groupe topologique compact ou un schéma en groupes affine G, la catégorie de ses représentations de dimension finie continues (ou algébriques), munie du produit tensoriel et du foncteur d'oubli vers les espaces vectoriels, détermine G à isomorphisme près via la reconstruction de son algèbre de Hopf des fonctions représentatives. ## Mauvaise application Mauvaise application Tenter la reconstruction à partir d'une catégorie dépourvue de rigidité (absence de duaux), d'une catégorie sans structure tensorielle compatible, ou sans foncteur fibre neutre, échouera à produire un objet algébrique canonique ; omettre le foncteur fibre prive de réalisation concrète. ## Conséquence Conséquence Lorsque les hypothèses sont satisfaites, on peut classifier les objets de symétrie par leurs catégories de représentations, traduire des problèmes de théorie des groupes en termes catégoriques et construire des schémas en groupes ou des algèbres de Hopf à partir de données purement catégoriques. ## Inversion Inversion Au lieu de passer du groupe à la catégorie des représentations, la dualité de Tannaka inverse le processus : à partir des données catégoriques (catégorie tensorelle plus foncteur fibre) on reconstruit l'objet de type groupe, inversant la direction habituelle d'association. ## Limite Limite Exige une catégorie tensorelle k-linéaire rigide avec des propriétés d'exactitude et généralement un foncteur fibre neutre vers Vec_k ; l'absence de rigidité, l'absence du foncteur fibre ou le travail sur des corps de caractéristique problématique peuvent empêcher la reconstruction ou changer la classe d'objets récupérables. ## Tension sémantique Tension sémantique Se rapporte mais se distingue de la dualité de Pontryagin et des dualités de type Fourier (qui sont abéliennes et analytiques) ; Tannaka est non abélienne et catégorique, et recoupe mais n'est pas identique aux résultats de reconstruction en théorie des algèbres de Hopf. ## Synthèse Synthèse La dualité de Tannaka affirme que la structure tensorielle d'une catégorie de représentations, combinée à un foncteur fibre, contient exactement les données nécessaires pour reconstruire l'objet de symétrie sous-jacent : la théorie des représentations et l'objet algébrique sont deux faces d'une même structure.