##  [Foncteur Non Représentable](/fr/node/63698) 

 Définition

Un foncteur d’une catégorie de schémas (ou d’autres objets algébriques) vers les ensembles ou groupoïdes qui n’est isomorphe à aucun foncteur des points d’un schéma ou d’un espace algébrique ; il indique que le problème de modules souhaité ne peut être capturé par les schémas seuls.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Être représentable signifie qu’un foncteur est réalisé par un objet universel dont les T-points reproduisent le foncteur ; l’échec de représentabilité signale l’absence essentielle d’un objet paramétrant universel dans la catégorie autorisée, souvent à cause d’automorphismes, de familles de dimension infinie ou d’un comportement non séparé.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Les problèmes de modules requérant une structure de champ fournissent des exemples : le foncteur qui envoie T sur les classes d’isomorphisme d’objets ayant des automorphismes non triviaux peut être non représentable par un schéma (par ex. des familles avec stabilisateurs variant en T), forçant le passage aux champs algébriques ou aux quotients par groupoïdes.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Forcer un foncteur non représentable à être traité comme représentable par un schéma ou ignorer les groupes de stabilisateurs, ce qui conduit à des familles universelles incorrectes, à des espaces de déformation mal comptés ou à l’incapacité de paramétrer correctement les classes d’isomorphisme.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Identifier la non-représentabilité conduit à des cadres plus larges (espaces algébriques, champs, modules formels ou dérivés) qui peuvent capturer le foncteur, clarifie quels objets universels existent et explique des pathologies de modules comme la non-séparation ou l’absence d’espace de modules grossier.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Les foncteurs représentables sont l’inverse : il existe un schéma (ou espace algébrique) dont le foncteur des points est le foncteur donné, fournissant une famille universelle et un espace paramétrique géométrique classique.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Concerne des foncteurs sur des catégories de schémas, d’anneaux ou de groupoïdes ; exclut les paramétrisations ensemblistes qui ignorent la structure catégorique et ne prétend pas à la représentabilité dans une catégorie ambiante indûment restrictive (par ex. exiger des schémas quand des espaces algébriques ou des champs sont nécessaires).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre le point de vue fonctoriel (flexible mais parfois non représentable) et le désir d’espaces paramétriques concrets (schémas) ; tension aussi entre modules grossiers et rehaussements en champ ou dérivé requis pour représenter le foncteur.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un foncteur non représentable est une assignation de type module qui n’a pas de schéma ou d’espace algébrique représentant à cause d’automorphismes, d’un comportement non séparé ou d’une dimension infinie ; reconnaître cette non-représentabilité motive le recours à des champs, et aux méthodes formelles ou dérivées pour obtenir des paramétrisations correctes.