## [Variété Non Normale](/fr/node/63686) Définition Une variété ou un schéma qui n'est pas normal, c'est-à-dire pour lequel certains anneaux locaux ne sont pas intégralement clos dans leur anneau des fractions. La non-normalité se traduit par des phénomènes en branches, des cuspidalités, points de pincement ou des défauts plus subtils d'adhérence intégrale. ## Principe Principe La normalité organise la cohérence géométrique en exigeant la clôture intégrale des anneaux locaux ; équivalemment (critère de Serre) la normalité s'exprime par R_1 (régularité en codimension 1) et S_2 (condition de profondeur). L'échec de la clôture intégrale entraîne la séparation de branches dans la normalisation et des difficultés pour la théorie des diviseurs. ## Démonstration Démonstration Exemple classique : la cuspide Spec k[t^2,t^3] n'est pas normale car t est entier sur k[t^2,t^3] sans appartenir à l'anneau ; la normalisation est Spec k[t], qui sépare la droite paramétrique. Un point de pincement fournit un autre exemple où la normalisation remplace l'anneau local non intégralement clos par sa clôture intégrale, séparant ou adoucissant des branches. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que 'non normale' équivaut à 'singulière' ou à 'réductible' ; un schéma peut être singulier tout en étant normal en dimensions supérieures, ou réduit tout en étant non normal. Confondre non-réductivité et non-normalité est fréquent : un schéma réduit peut quand même échouer à être intégralement clos. ## Conséquence Conséquence La non-normalité affecte le groupe des classes des diviseurs, la distinction Weil/Cartier et le comportement des faisceaux : les faisceaux réflexifs et les complexes dualisants se comportent différemment sur le lieu non normal. La normalisation modifie la topologie et peut séparer des branches, altérant des invariants numériques et catégoriques. ## Inversion Inversion Une variété normale a des anneaux locaux intégralement clos partout ; ses anneaux locaux en codimension un sont réguliers et la théorie des diviseurs est plus simple (les diviseurs de Weil se rapprochent de la notion de diviseurs de Cartier). La normalité élimine les comportements en branche dus à un défaut de clôture intégrale. ## Limite Limite Le terme a du sens surtout pour des schémas intègres ou réduits de type fini ; pour des schémas réductibles on considère la normalité composante par composante. Les anneaux non noethériens et certains exemples non réduits exigent de la prudence : la clôture intégrale peut être délicate et les équivalences usuelles (critère de Serre) requièrent des hypothèses noethériennes. ## Tension sémantique Tension sémantique Notions proches : 'régulier', 'normal' et 'réduit' sont distinctes. On confond souvent 'non normale' avec 'singulier' ou 'non réduit' ; la tension vient du fait que la normalité est une condition d'intégralité, tandis que la lissité/régularité sont des conditions différentielles et la réduction concerne l'absence de nilpotents. ## Synthèse Synthèse Une Variété Non Normale est celle dont l'algèbre locale manque la clôture intégrale : localement un élément entier sur l'anneau en est absent, provoquant des comportements en branches que la normalisation corrige, avec des conséquences concrètes sur la théorie des diviseurs et la topologie géométrique.