## [Point Non Régulier](/fr/node/63684) Définition Un point x d'un schéma X dont l'anneau local O_{X,x} n'est pas un anneau local régulier ; de façon équivalente, la dimension d'empilement (la dimension de m_x/m_x^2) dépasse strictement la dimension de Krull de O_{X,x}, ce qui signale une singularité locale selon l'algèbre commutative. ## Principe Principe La régularité d'un anneau local est la règle organisatrice : un anneau local est régulier exactement lorsque son idéal maximal peut être engendré par dim O_{X,x} éléments. L'échec de cette égalité indique des directions supplémentaires dans l'espace tangent de Zariski et donc un point singulier. ## Démonstration Démonstration Exemple concret : le cuspide donné par la courbe affine Spec k[t^2,t^3] en l'origine. Son anneau local a une dimension d'empilement qui dépasse la dimension géométrique et l'origine est donc un point non régulier. Plus généralement, les singularités de courbes planes telles que y^2 = x^3 illustrent ce phénomène. ## Mauvaise application Mauvaise application Appeler à tort 'non régulier' tout point où plusieurs branches se rencontrent sans vérifier la dimension d'empilement locale ; par exemple, un nœud et une cuspide sont tous deux singuliers mais leurs propriétés algébriques locales diffèrent et doivent être testées via l'anneau local plutôt qu'en comptant seulement les branches. ## Conséquence Conséquence La présence de points non réguliers empêche le schéma d'être lisse ; elle agrandit les espaces tangents, complique la théorie des déformations et bloque l'application directe d'outils nécessitant la régularité (par exemple certaines annulations ou descriptions simples des complexes dualisants). ## Inversion Inversion Un point régulier est celui pour lequel O_{X,x} est un anneau local régulier : la dimension d'empilement égale la dimension de Krull, l'espace tangent a la dimension minimale possible et localement le schéma est non singulier (lisse sur un corps sous conditions de séparabilité). ## Limite Limite La notion s'applique point par point aux schémas noethériens (ou localement noethériens) via leurs anneaux locaux. Elle ne couvre pas à elle seule les pathologies non réduites ni les défauts de normalité ; un point peut être non régulier alors que le schéma est réduit ou même normal. La détection requiert des calculs d'algèbre locale (profondeur, dimension d'empilement) et peut être délicate hors du cadre noethérien. ## Tension sémantique Tension sémantique Concepts voisins : 'point singulier', 'point non normal' et 'point non réduit'. 'Non régulier' est une condition algébrique sur l'anneau local (générateurs de l'idéal maximal vs dimension), tandis que 'singulier' est souvent employé géométriquement pour l'échec de la lissité ; les deux se recoupent mais insistent sur des vérifications techniques différentes. ## Synthèse Synthèse Un Point Non Régulier est la marque algébrique locale d'une singularité : c'est un point où l'égalité régularité (nombre minimal de générateurs de l'idéal maximal = dimension) échoue, entraînant un espace tangent de Zariski plus grand et les obstructions géométriques et deformationnelles qui en découlent.