## [Forme Biliaire Dégénérée](/fr/node/63675) Définition Une forme bilinéaire B: V×V→K sur un espace vectoriel (ou un module) dont le radical {v∈V | B(v,w)=0 pour tout w∈V} est non trivial. Autrement dit, sa matrice de Gram (dans une base donnée) est singulière, donc B ne définit pas d'isomorphisme V→V* ni de couplage non dégénéré sur V. ## Principe Principe La dégénérescence est l'échec de la condition de non-dégénérescence : l'existence de vecteurs non nuls annihilés par la forme. Cela empêche l'identification avec le dual, l'inversion de la matrice de Gram et de nombreuses arguments d'orthogonalité qui supposent un radical trivial. ## Démonstration Démonstration Exemple concret : sur K^2, pour (x,y) et (x',y') poser B((x,y),(x',y'))=x x'. La matrice de Gram dans la base canonique est [[1,0],[0,0]] de déterminant 0, et le radical est <(0,1)>. En géométrie algébrique, une forme quadratique sur une famille qui acquiert un radical sur la fibre spéciale illustre cette dégénérescence. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer une forme dégénérée comme si elle induisait un isomorphisme V→V* (par exemple en inversant sa matrice de Gram) ou l'utiliser comme produit scalaire en analyse sans vérifier non-dégénérescence et positivité. Ignorer le radical en calculant des compléments orthogonaux conduit aussi à des décomptes de dimensions erronés. ## Conséquence Conséquence Reconnaître la dégénérescence oblige à remplacer V par le quotient V/rad(B) pour retrouver un accouplement non dégénéré ; la classification et les formes canoniques changent (il faut enregistrer le radical), les sous-espaces isotropes se multiplient, et les dualités ou décompositions orthogonales attendues échouent ou doivent être adaptées. ## Inversion Inversion Forme bilinéaire non dégénérée : le radical est {0}, la matrice de Gram est inversible, et V se met en dualité parfaite avec V*. Les théorèmes usuels (loi d'inertie de Sylvester pour char≠2, décompositions orthogonales) s'appliquent dans ce cas inversé. ## Limite Limite S'applique aux formes bilinéaires et quadratiques sur corps et modules ; sur des anneaux apparaissent des phénomènes supplémentaires (torsion, nilpotents) qui compliquent la notion de radical. En caractéristique 2 il faut distinguer comportement symétrique et alterné ; sur des bases générales la dégénérescence peut varier dans la famille (sauts de rang). ## Tension sémantique Tension sémantique « Dégénéré » est employé à la fois pour la singularité linéaire de la forme (radical non trivial) et de façon informelle pour des cas limites ou pathologiques ; on peut le confondre avec « matrice de Gram singulière », « isotrope » ou « limite de formes non singulières ». La tension essentielle est entre le noyau algébrique et l'idée heuristique d'effondrement. ## Synthèse Synthèse Une Forme Bilinéaire Dégénérée est exactement un couplage bilinéaire possédant un radical non nul ; il convient d'identifier ce noyau et, si besoin, de passer au quotient pour retrouver une structure non dégénérée. Ce défaut unique — l'existence de vecteurs non nuls annihilés — affecte la classification, la dualité et le comportement géométrique dans les familles et doit être traité explicitement.