##  [Défaillance D'Exactitude](/fr/node/63664) 

 Définition

Une situation où une suite d'homomorphismes ...→A_{i-1}→A_i→A_{i+1}→... n'est pas exacte en une position i donnée, c'est‑à‑dire que l'image de l'application entrante n'est pas égale au noyau de l'application sortante ; les groupes d'homologie mesurent cet échec.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'exactitude traduit l'équilibre parfait des images et noyaux ; son échec signale une obstruction, mesurée par une homologie non nulle, et reflète des données d'extension, de torsion ou de relations cachées non captées par les applications.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Considérer la suite Z --×2--> Z --×3--> Z. L'image de la première application est 2Z alors que le noyau de la multiplication par 3 est 0, donc image≠noyau et la suite n'est pas exacte au terme du milieu.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer des suites comme si elles étaient exactes sans vérification — par exemple appliquer des arguments de disparition de foncteurs dérivés ou de scindage sur des suites non exactes — conduit à des conclusions homologiques erronées.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Des groupes d'homologie non nuls consignent des obstructions au relèvement, au scindage ou à la résolubilité ; ils signalent des extensions, détectent de la torsion et empêchent des calculs naïfs avec foncteurs dérivés et suites spectrales.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Les suites exactes, où images et noyaux coïncident partout, autorisent décompositions, relèvements et calculs propres des foncteurs dérivés ; l'exactitude est une hypothèse permettant de nombreux théorèmes structuraux.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Concerne les suites d'homomorphismes en algèbre, topologie et géométrie ; l'échec peut être local ou global et doit être distingué d'un simple défaut de surjectivité ou injectivité puisque l'exactitude combine les deux.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Entre l'exactitude comme condition idéale et les calculs pratiques : exactitude courte, foncteurs partiellement exacts à gauche ou à droite, et l'existence de foncteurs dérivés forment un réseau de notions de semi-exactitude.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La défaillance d'exactitude est le signal homologique concret que images et noyaux sont désalignés : l'homologie mesure l'obstruction, qui encode des données d'extension et de torsion et met en garde contre le transfert naïf de propriétés requérant l'exactitude.