##  [Extension Purement Inséparable](/fr/node/63657) 

 Définition

Une extension de corps L/K en caractéristique p>0 telle que chaque élément de L est algébrique sur K et qu'il existe pour tout α∈L un entier n≥0 avec α^{p^n}∈K ; autrement dit la sous-extension séparable est triviale et les polynômes minimaux sont des puissances p-pures.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Résulte de l'échec du test dérivé en caractéristique positive : les puissances de Frobenius identifient des racines distinctes, si bien que l'algébricité provient uniquement de relations de type p-ième puissance plutôt que de polynômes minimaux séparables.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Prendre K = F_p(t^p) inclus dans L = F_p(t). Ici t^p∈K mais t∉K, et tout élément de L satisfait une relation de p-ième puissance sur K (par exemple t^{p}∈K), donc L/K est purement inséparable.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Qualifier d'extension purement inséparable une extension qui contient seulement des éléments inséparables mêlés à une partie séparable non triviale ; confondre 'inséparable' avec 'non séparable' peut masquer une partie séparable sous-jacente.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les outils galoisiens échouent : il n'y a pas de groupe de Galois séparable non trivial, les plongements de corps sur K ne sont pas distincts, et les morphismes géométriques induits sont inséparables avec des conséquences sur la dimension et les formes différentielles.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une extension séparable, où les polynômes minimaux ont des racines distinctes et Frobenius n'écrase pas les plongements ; les parties séparable et purement inséparable se complètent dans la décomposition algébrique.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Ne concerne que les extensions algébriques en caractéristique p>0 ; ne s'applique pas en caractéristique zéro, aux extensions transcendantes, ni aux extensions qui se décomposent en une partie séparable non triviale.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Entre 'inséparable' (quelques éléments peuvent être inséparables) et 'purement inséparable' (tout élément satisfait une relation de puissance p^n sur la base) ; notions proches : clôture séparable et corps parfaits.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une extension purement inséparable est une extension algébrique en caractéristique positive entièrement engendrée par des relations de puissances p : l'écrasement induit par Frobenius supprime la structure séparable, entraînant des disfonctionnements en théorie de Galois et en géométrie différentielle.