## [Élément Nilpotent](/fr/node/63648) Définition Un élément a d'un anneau ou d'une algèbre R tel que a^n = 0 pour un certain entier positif n ; autrement dit, un élément dont une puissance suffisamment élevée s'annule et qui signale des directions infinitésimales ou la non‑réduction de la structure algébrique. ## Principe Principe La nilpotence organise la défaillance de la réduction : les éléments nilpotents détectent les annulations d'ordre supérieur et se placent à l'intérieur du nilradical et des composantes primaires de R. ## Démonstration Démonstration Dans l'anneau quotient k[x]/(x^n), la classe de x est nilpotente parce que x^n = 0 dans le quotient ; dans l'anneau local d'un schéma en un point non réduit, des fonctions qui s'annulent à un ordre > 0 donnent des classes nilpotentes. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer un élément nilpotent comme négligeable dans toutes les constructions (par exemple l'ignorer pour calculer certains groupes Ext ou la cohomologie locale) — les nilpotents peuvent modifier des invariants homologiques et la géométrie bien qu'ils s'annulent dans le quotient réduit. ## Conséquence Conséquence La présence de nilpotents non nuls rend R non réduit ; quotienter par l'idéal qu'ils engendrent donne l'anneau réduit associé, et les nilpotents annulent certains modules et modifient la profondeur et les idéaux associés. ## Inversion Inversion Un élément qui n'est jamais envoyé sur zéro par une puissance positive (pas de n>0 tel que a^n = 0) se comporte comme un élément non nilpotent ou sans torsion par rapport aux puissances multiplicatives ; en particulier les unités et les non‑diviseurs de zéro ne sont pas nilpotents. ## Limite Limite Le zéro est nilpotent (0^1 = 0) et est inclus ; les idempotents (e tel que e^2 = e) ne sont nilpotents que si e = 0 ; la nilpotence concerne strictement l'annulation par puissances successives, pas la divisibilité ou la torsion qui n'atteint jamais zéro. ## Tension sémantique Tension sémantique On confond souvent nilpotent et « topologiquement nilpotent » (éléments dont les puissances tendent vers zéro pour une topologie adique) ou nilpotent et 'nil' appliqué aux idéaux ; ces termes se recoupent mais insistent sur des contextes différents. ## Synthèse Synthèse Un élément nilpotent témoigne d'une structure algébrique non réduite : c'est un élément dont une puissance itérée s'annule, il appartient au nilradical et influence la décomposition primaire, les propriétés locales et le comportement homologique.