## [Cuspide](/fr/node/63639) Définition Une singularité cuspidale (cuspide) est un point où une seule branche d'une courbe présente une auto-tangence produisant une géométrie locale pointue et non transversale ; algébriquement la partie quadratique est un carré et les termes d'ordre supérieur confèrent une unique direction tangente avec multiplicité. ## Principe Principe Les cuspides apparaissent lorsque la partie homogène de plus bas degré de l'équation locale possède un facteur linéaire répété, de sorte que la branche ne se scinde pas en tangentes distinctes ; l'ordre de contact entre paramétrisations est supérieur et la normalisation donne une seule branche. ## Démonstration Démonstration Un modèle plane classique est y^2 = x^3 en l'origine : le gradient s'annule et la courbe possède une seule direction tangente mais un 'point' plus aigu qu'une inflexion régulière, ainsi l'origine est une cuspide. ## Mauvaise application Mauvaise application Qualifier de cuspide tout point d'aspect aigu sans vérifier la multiplicité algébrique ou la factorisation de la partie quadratique, ou confondre un point d'inflexion d'une courbe lisse avec une singularité cuspidale. ## Conséquence Conséquence Les cuspides sont plus graves que les nœuds : elles ne sont pas stables de la même manière par petites perturbations, leur normalisation diffère de celle des nœuds et elles influent différemment sur des invariants comme δ et la formule du genre. ## Inversion Inversion Un nœud ordinaire où deux tangentes distinctes existent et les branches se croisent transversalement, ou un point d'inflexion lisse où la courbure change mais le point reste régulier. ## Limite Limite Désigne spécifiquement une singularité unibranche avec tangente de multiplicité >1 ; exclut les dégénérescences à plusieurs branches, les cuspides d'ordre supérieur (cuspidal ramphoid) et les phénomènes non réduits. La caractéristique du corps de base peut modifier la classification. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension avec la notion de point d'inflexion ou de contact d'ordre supérieur qui reste régulier ; une cuspide est singulière et unibranche, alors qu'une inflexion est un phénomène lisse avec dérivées supérieures nulles mais anneau local régulier. ## Synthèse Synthèse Une cuspide est un point singulier unibranche où la plus basse partie homogène de l'équation locale est un facteur linéaire répété, produisant une tangente unique de multiplicité supérieure et une géométrie locale pointue (modèle classique y^2=x^3).