## [Propriété d'Amalgamation](/fr/node/63632) Définition Une classe de structures (souvent une variété ou une classe de modèles) possède la propriété d'amalgamation (AP) lorsque pour toute paire d'inclusions d'une sous‑structure commune dans deux structures il existe une super‑structure commune dans laquelle les deux inclusions se prolongent de sorte qu'elles coïncident sur la partie commune (il existe un amalgame ou un coproduit pour le diagramme d'inclusions). ## Principe Principe AP est l'existence de coproduits compatibles pour des diagrammes d'inclusions : données A→B1 et A→B2 inclusions, il existe C et des inclusions B1→C, B2→C rendant le carré commutatif et identifiant les images de A, ce qui permet de recoller les structures le long de la sous‑structure partagée. ## Démonstration Démonstration Exemple : la classe des espaces vectoriels sur un corps fixé a l'AP : données des inclusions d'un sous‑espace commun dans deux espaces vectoriels, leur amalgame est le quotient de la somme directe par la copie diagonale du sous‑espace (ou l'addition interne dans une extension commune), produisant un espace où les deux inclusions coïncident sur le sous‑espace partagé. ## Mauvaise application Mauvaise application Prétendre que l'AP tient dans une classe sans vérifier les inclusions (par exemple affirmer l'AP pour des théories du premier ordre quelconques ou pour les corps sans qualification) ou utiliser l'AP alors que seules des propriétés plus faibles comme la propriété d'extension conjointe existent ; confondre AP avec amalgamation d'homomorphismes arbitraires plutôt que d'inclusions est aussi une mauvaise utilisation. ## Conséquence Conséquence Quand une classe a l'AP, on peut effectuer de nombreuses constructions en théorie des modèles et en algèbre : construire des structures homogènes et universelles, analyser les amalgames d'extensions, et obtenir des conséquences d'unicité ou de catégoricité en certaines cardinalités ; l'AP intervient aussi dans les propriétés de définissabilité et de stabilité en théorie des modèles. ## Inversion Inversion L'échec de l'AP signifie qu'il existe deux inclusions de la même A dans B1 et B2 qui ne peuvent être simultanément plongées dans aucun C en respectant l'identification sur A ; beaucoup de classes naturelles (notamment certains corps munis de structures supplémentaires, ou des classes avec clôtures algébriques incompatibles) présentent un échec de l'AP, engendrant des phénomènes d'obstruction pour les extensions. ## Limite Limite L'AP porte sur les inclusions (applications injectives conservant la structure) et sur l'existence d'un amalgame commutatif ; elle n'assure pas l'unicité des amalgames à isomorphisme près sauf sous conditions supplémentaires, et ne s'applique pas à des applications qui ne sont pas des inclusions. L'AP peut tenir pour une variété mais échouer pour ses réducts ou expansions, aussi la signature et la classe de morphismes sont déterminantes. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre l'AP et la propriété d'assemblage conjoint (JEP) : la JEP ne garantit qu'une extension commune de deux structures mais pas un amalgame commutatif identifiant une sous‑structure partagée, donc l'AP est strictement plus forte et impose des contraintes diagrammatiques supplémentaires. ## Synthèse Synthèse La propriété d'amalgamation affirme que des inclusions compatibles peuvent être recollées dans une extension commune : formellement l'existence de coproduits pour des diagrammes d'inclusions, l'AP permet un collage contrôlé des structures, fonde la construction d'objets homogènes et universels en théorie des modèles, et sa présence ou son absence façonne les phénomènes d'extension et de classification.