## [Algèbre Libre](/fr/node/63629) Définition Une algèbre d'une variété, librement engendrée par un ensemble de générateurs ; elle vérifie la propriété universelle selon laquelle toute application du jeu de générateurs vers une algèbre de la variété s'étend de façon unique en un homomorphisme depuis l'algèbre libre. ## Principe Principe Universalité : pour une variété V et un ensemble X, une algèbre libre F(X) dans V sur X est munie d'une inclusion des générateurs telle que pour toute algèbre A de V et toute application f : X→A il existe un unique homomorphisme F(X)→A prolongeant f. ## Démonstration Démonstration Exemple : le groupe libre sur un ensemble X est constitué des mots réduits en X∪X^{-1} munis de la concaténation ; toute application de X dans un groupe G s'étend de façon unique en un homomorphisme du groupe libre vers G, réalisant la propriété universelle. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre algèbre libre et objet libre dans une catégorie plus large (par exemple en négligeant les identités de la variété) ou considérer comme « libre » une algèbre présentée en imposant des relations et en les ignorant ; supposer aussi que la liberté implique un rang fini sans justification. ## Conséquence Conséquence Les algèbres libres fournissent des présentations canoniques par générateurs et relations, permettent de construire des homomorphismes en spécifiant les images des générateurs, et sous-tendent des constructions universelles comme les coproduits dans les variétés ; elles sont essentielles pour l'analyse des congruences via noyaux d'applications issues d'algèbres libres. ## Inversion Inversion La notion duale est celle d'objet co‑libre en contexte coalgébraïque ; inverser la liberté dans une variété conduit aux quotients par relations, donc à une algèbre présentée où les générateurs satisfont des relations non triviales et où les applications sortantes ne sont plus uniques. ## Limite Limite La liberté s'entend relativement à une variété et à une signature fixées ; l'existence d'algèbres libres est garantie dans de nombreuses variétés usuelles mais dépend de propriétés de fermeture (par exemple l'existence d'objets libres peut échouer pour des classes arbitraires) ; la liberté n'implique ni finitude ni décidabilité. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre « libre » et « projectif » : les objets projectifs relèvent des relèvements le long d'épimorphismes mais n'ont pas nécessairement la même propriété universelle à partir d'un ensemble de générateurs ; tension aussi entre « libre » et « sans relations » dans le langage des présentations. ## Synthèse Synthèse Une algèbre libre est l'objet canonique engendré par un ensemble sans relations autres que celles imposées par la variété : définie par la propriété universelle d'extension, elle sert de source pour tous les homomorphismes fixés sur les générateurs et fournit les cadres de présentation et d'étude des congruences.