##  [Élimination des Imaginaires](/fr/node/63614) 

 Définition

Propriété d'une théorie indiquant que tout ensemble définissable (avec paramètres) admet un paramètre canonique (un « imaginaire ») dans les sortes de base ou dans une expansion définissable, de sorte que les quotients définissables sont représentés par des éléments réels ou des sortes nommées.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Internaliser les quotients : l'élimination des imaginaires remplace des classes d'équivalence ou des quotients décrits extérieurement par des éléments canoniques de la structure (éventuellement après ajout de sortes naturelles), permettant la nomination uniforme des objets définissables et la paramétrisation des familles.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : dans les structures d'espaces vectoriels, les sous-espaces et les quotients peuvent être représentés par des points dans des sortes analogues à une Grassmannienne ; pour de nombreuses théories stables on peut ajouter des sortes pour certains ensembles définissables afin que chaque ensemble définissable possède un paramètre canonique, rendant possibles des constructions internes de type Galois et de groupes liants au sein du modèle.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que l'élimination des imaginaires tient déjà dans la langue d'origine sans vérifier les sortes ou paramètres définissables nécessaires ; ou traiter les paramètres canoniques comme absolument uniques sans reconnaître qu'ils sont déterminés à une équivalence définissable près.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Lorsque l'EI est satisfaite (éventuellement après une expansion contrôlée), on peut former des paramètres canoniques pour les ensembles définissables, simplifier le traitement des types sur paramètres, développer une théorie galoisienne interne et analyser uniformément les familles définissables au sein du modèle.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'absence d'EI signifie que certaines relations d'équivalence définissables n'ont pas de représentant canonique dans les sortes de base ; il faut alors travailler avec les classes comme objets externes ou étendre la langue par de nouvelles sortes pour les capturer.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

L'EI porte sur les quotients définissables et les paramètres canoniques relatifs à une langue et un ensemble de sortes choisis ; elle peut nécessiter l'ajout de sortes définissables, et sa validité dans une théorie ne se transfère pas automatiquement à des expansions ou réducts arbitraires sans vérification.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre EI et nomination de paramètres : l'EI vise à internaliser les objets définissables comme paramètres, tandis qu'une alternative est de traiter les paramètres de façon extrinsèque ou de nommer des représentants ad hoc ; il existe aussi une tension entre EI et contraintes de dénombrabilité/taille lorsque les paramètres canoniques résident dans des sortes étendues.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'élimination des imaginaires exprime que tous les objets et quotients définissables peuvent être représentés par des éléments canoniques à l'intérieur de la structure (éventuellement après extensions naturelles), transformant des classes définissables externes en paramètres internes uniformément maniables pour les constructions model-théoriques.