## [Catégoricité](/fr/node/63612) Définition La propriété d'une théorie du premier ordre telle que, pour un cardinal infini donné κ, tous les modèles de la théorie de cardinalité κ sont isomorphes ; autrement dit, la théorie admet exactement un modèle à isomorphisme près dans cette cardinalité. ## Principe Principe Unicité de la structure à une taille donnée : si une théorie est catégorique en κ, toute paire de modèles de taille κ est liée par un isomorphisme structurel et partage une même description invariante. ## Démonstration Démonstration Exemple : la théorie des ordres denses sans extrémités est catégorique en cardinalité dénombrable (son modèle dénombrable est isomorphe aux rationnels) ; en revanche, la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique fixée est catégorique pour chaque cardinal non dénombrable, de sorte que les modèles de même taille non dénombrable sont déterminés à isomorphisme près par leur degré de transcendance. ## Mauvaise application Mauvaise application Affirmer qu'une catégoricité en un cardinal implique catégoricité en tous les cardinaux sans condition ; ou confondre catégoricité et complétude (une théorie complète peut encore avoir plusieurs modèles non isomorphes d'une même cardinalité). ## Conséquence Conséquence Quand une théorie est catégorique en une cardinalité, on obtient un fort contrôle structurel : les invariants classifient les modèles, les types et les groupes d'automorphismes sont contraints, et les outils de la théorie de la classification (stabilité, rangs) deviennent souvent exploitables. ## Inversion Inversion Une théorie non catégorique en κ possède deux modèles (ou davantage) non isomorphes de taille κ ; l'inversion met en évidence l'existence de structures essentiellement différentes satisfaisant les mêmes axiomes à cette taille. ## Limite Limite La catégoricité porte sur les modèles d'une cardinalité particulière (généralement infinie) ; elle n'affirme pas en soi des propriétés pour d'autres cardinalités, ni l'existence d'un modèle de cette cardinalité sans garantie d'existence séparée. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension sémantique entre catégoricité et complétude : la complétude fixe les valeurs de vérité des phrases pour tous les modèles mais ne détermine pas le nombre de modèles non isomorphes en une taille donnée ; inversement, la catégoricité fixe la classe d'isomorphisme en une taille mais pas nécessairement la détermination phrase par phrase dans d'autres langues ou tailles. ## Synthèse Synthèse La catégoricité exprime qu'une théorie fournit un univers structural unique à une taille infinie donnée : sous les axiomes de la théorie et pour ce cardinal, il existe un modèle canonique à isomorphisme près, entraînant une classification rigide et des conséquences model-théoriques puissantes.