## [Base de Gröbner](/fr/node/63504) Définition Un ensemble fini de générateurs d'un idéal de polynômes dans un anneau de polynômes, choisi de sorte que, par rapport à un ordre monomial fixé, tout polynôme de l'idéal admet une forme normale unique modulo cet ensemble ; concrètement une base de Gröbner rend algorithmique l'appartenance à l'idéal, l'élimination et le calcul d'invariants algébriques. ## Principe Principe Remplacer des générateurs quelconques par des générateurs dont les termes dominants engendrent l'idéal des termes dominants, de sorte que les réductions s'arrêtent et que les formes normales soient uniques par rapport à l'ordre monomial. ## Démonstration Démonstration Pour l'idéal I = ⟨x^2 - y, xy - 1⟩ dans k[x,y] avec l'ordre lexicographique x > y, on peut calculer une base de Gröbner contenant un polynôme univarié en y ; ce polynôme permet d'éliminer x et de résoudre le système par substitution arrière. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer une base de Gröbner comme indépendante de l'ordre monomial choisi ou supposer qu'une base de Gröbner est minimale ou réduite sans effectuer la réduction et la normalisation sous cet ordre. ## Conséquence Conséquence Une base de Gröbner correctement calculée et réduite fournit une procédure de décision pour l'appartenance à l'idéal, des formes normales canoniques, facilite l'élimination de variables et permet de calculer la dimension et la série de Hilbert. ## Inversion Inversion Un système de générateurs quelconques qui n'est pas une base de Gröbner ne donne pas de formes normales uniques : différentes suites de réductions peuvent produire des restes différents et les tests d'appartenance deviennent non concluants. ## Limite Limite S'applique aux idéaux des anneaux de polynômes commutatifs (et à des variantes de modules avec adaptations) ; nécessite un ordre monomial bien fondé et ne se transpose pas directement aux anneaux non commutatifs ou aux séries formelles sans modification. ## Tension sémantique Tension sémantique On peut la confondre avec une base en algèbre linéaire : une base de Gröbner engendre un idéal, elle n'est pas une base de l'espace vectoriel. Il existe aussi une tension entre 'base de Gröbner réduite' (canonique) et simple 'ensemble fini de générateurs'. ## Synthèse Synthèse La base de Gröbner est un ensemble fini de générateurs choisi par rapport à un ordre monomial de sorte que les termes dominants gouvernent la réduction ; cela rend de nombreuses questions sur l'idéal décidables par des procédures effectives, tout en dépendant fortement du choix d'ordre.