## [Identités de Newton](/fr/node/63499) Définition Un ensemble d'égalités reliant les sommes de puissances des racines d'un polynôme (s_k = somme r_i^k) aux coefficients du polynôme exprimés comme polynômes symétriques élémentaires ; elles donnent des formules récursives entre sommes de puissances et fonctions symétriques élémentaires. ## Principe Principe Les polynômes symétriques en les racines peuvent s'exprimer dans deux bases naturelles — les sommes de puissances et les polynômes symétriques élémentaires — et les identités de Newton fournissent des relations linéaires explicites (avec coefficients combinatoires) pour convertir entre ces bases. ## Démonstration Démonstration Pour un polynôme quadratique x^2 − s x + p de racines r1, r2, les identités donnent s_1 = r1 + r2 = s et s_2 = r1^2 + r2^2 = s^2 − 2p ; cela exprime les sommes de puissances s_k en termes des coefficients s et p ou inversement. ## Mauvaise application Mauvaise application Diviser par des entiers k apparaissant dans les relations sans vérifier la caractéristique de l'anneau de base conduit à des étapes invalides dans des corps dont la caractéristique divise k ; de même, appliquer les identités à des ensembles infinis de racines sans considération de convergence est incorrect. ## Conséquence Conséquence Permettent de calculer les coefficients d'un polynôme à partir des sommes de puissances et de récupérer des invariants symétriques à partir de données de type moment ; fondamentales en théorie d'élimination, calcul des sommes de Newton et relations entre fonctions symétriques. ## Inversion Inversion La conversion inverse — exprimer les sommes de puissances en fonction des polynômes symétriques élémentaires — est fournie par la même famille de récurrences appliquées dans l'autre sens ; aucune des deux directions n'est primaire en soi, elles sont interdépendantes. ## Limite Limite Valables pour des polynômes sur des anneaux où les coefficients entiers combinatoires ont un sens ; sur des anneaux dont la caractéristique divise certains entiers (par ex. k), des précautions ou formulations modifiées sont nécessaires, et des problèmes analytiques surgissent pour des multisets infinis de racines. ## Tension sémantique Tension sémantique Liées aux formules de Viète, qui donnent directement les coefficients comme polynômes symétriques élémentaires des racines ; les identités de Newton font le pont entre la perspective élémentaire de Viète et l'information de type somme de puissances, créant parfois une confusion sur la représentation la plus naturelle. ## Synthèse Synthèse Les identités de Newton constituent le pont algébrique entre sommes de puissances et polynômes symétriques élémentaires : elles fournissent des récurrences qui traduisent des données de type moment en données de coefficients et réciproquement, sous réserve des contraintes arithmétiques de l'anneau de base.