##  [Théorème de Cayley–Hamilton](/fr/node/63497) 

 Définition

Énoncé selon lequel toute matrice carrée satisfait son propre polynôme caractéristique : si p(λ) = det(λI − A) est le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A, alors p(A) = 0 (la matrice nulle).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un polynôme construit à partir du déterminant capture des relations algébriques d'une matrice ; substituer la matrice dans ce polynôme donne un polynôme annihilateur, de sorte que le polynôme caractéristique annule la matrice.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une matrice 2×2 A = [[a, b], [c, d]], le polynôme caractéristique est λ^2 − (a + d)λ + (ad − bc). Remplacer λ par A donne A^2 − (trace A) A + (det A) I = 0, identité matricielle explicite.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des matrices non carrées ou à des matrices carrées sans tenir compte de l'anneau de base (par exemple en supposant qu'il vaut littéralement sur des anneaux où le déterminant n'est pas bien défini) conduit à des erreurs.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Assure que le polynôme caractéristique annule la matrice et implique que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique ; il soutient le calcul de fonctions de matrices, la dérivation d'identités impliquant trace et déterminant, et les décompositions structurelles.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La réciproque — que tout polynôme annihilateur soit multiple du polynôme caractéristique — est incorrecte au sens où tout polynôme annihilateur n'est pas nécessairement égal au polynôme caractéristique, mais le polynôme minimal divise toujours le polynôme caractéristique.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valable pour des matrices carrées sur des anneaux commutatifs ou des corps où le polynôme caractéristique se définit par un déterminant ; il faut être prudent sur des anneaux de coefficients non commutatifs ou en l'absence d'une théorie du déterminant.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Entre en tension avec la perspective du polynôme minimal et de la forme de Jordan : Cayley–Hamilton fournit un annihilateur universel (le polynôme caractéristique), tandis que le polynôme minimal capture la plus petite relation annihilatrice et une structure plus fine.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème de Cayley–Hamilton relie les données spectrales issues du déterminant aux relations algébriques des matrices : le polynôme caractéristique, calculé à partir de trace et déterminant, évalué en la matrice donne l'opérateur nul et relie les valeurs propres au calcul fonctionnel polynômial.