##  [Théorème D'Euler](/fr/node/63494) 

 Définition

Une généralisation du résultat de Fermat : pour n≥1 entier et a entier avec gcd(a,n)=1, a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n), où φ(n) est la fonction indicatrice d'Euler comptant les unités modulo n.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le groupe multiplicatif des unités modulo n a pour ordre φ(n) ; par le théorème de Lagrange, chaque unité élevée à la puissance φ(n) donne l'identité, d'où la congruence a^{φ(n)} ≡ 1 (mod n).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour n=10, φ(10)=4 ; pour a=3 (premier à 10), 3^4=81 et 81 ≡ 1 (mod 10), illustrant le théorème pour un module composé simple.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la congruence quand gcd(a,n)≠1 ou supposer que φ(n) est l'exposant minimal pour toutes les unités ; dans beaucoup de cas l'exposant véritable peut diviser strictement φ(n) (phénomènes liés à la fonction de Carmichael).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet des réductions d'exposants en arithmétique modulaire pour modules composés, sous-tend des idées de type RSA (arithmétique des exposants liée à φ(n)) et justifie le calcul d'inverses modulaires par exponentiation quand le module et la base sont premiers entre eux.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer φ(n) par des exposants universels plus petits (fonction de Carmichael λ(n)) ou chercher des réciproques montre des limites : a^{φ(n)} ≡ 1 n'implique pas que n soit premier ; ces réciproques motivent des tests de primalité plus forts.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige que a soit une unité modulo n et que n soit un entier positif ; ne s'applique pas directement aux résidus non unités ni aux modules avec structure algébrique supplémentaire sans adaptation.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'énoncé général d'Euler et des exposants plus précis comme la fonction de Carmichael ; tension aussi avec les algorithmes pratiques qui exploitent des exposants plus petits pour l'efficacité ou avec des structures particulières (groupes d'unités cycliques ou non).

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème d'Euler généralise l'observation de Fermat à tout groupe d'unités modulo n : l'ordre fini φ(n) du groupe entraîne des congruences par exponentiation qui structurent l'arithmétique modulaire et éclairent la théorie algorithmique des nombres.