## [Petit Théorème de Fermat](/fr/node/63493) Définition Un résultat d'arithmétique : si p est premier et a un entier non divisible par p, alors a^{p−1} ≡ 1 (mod p) ; équivalemment a^p ≡ a (mod p) pour tout entier a. ## Principe Principe Les unités modulo un nombre premier forment un groupe multiplicatif fini d'ordre p−1, donc l'ordre de chaque unité divise p−1, d'où a^{p−1} est l'élément identité dans ce groupe. ## Démonstration Démonstration Pour p=7 et a=3, on calcule 3^6 = 729, et 729 ≡ 1 (mod 7), ce qui illustre la congruence du théorème sur un exemple concret. ## Mauvaise application Mauvaise application Utiliser la congruence a^{n−1} ≡ 1 (mod n) comme test de primalité sans précaution : de nombreux n composés (nombres de Carmichael ou pseudopremiers de Fermat relativement à a) peuvent satisfaire la congruence pour certains ou tous les a, provoquant des faux positifs. ## Conséquence Conséquence Souligne des calculs élémentaires d'inverses modulaires et des heuristiques de primalité ; c'est un cas de base pour le théorème d'Euler et pour des constructions en cryptographie élémentaire quand le module est premier. ## Inversion Inversion La réciproque échoue : si a^{n−1} ≡ 1 (mod n) pour un certain a premier à n, n n'est pas nécessairement premier. L'étude de l'inverse mène aux pseudopremiers, aux nombres de Carmichael et à des critères de primalité plus forts comme les tests de probable premier d'Euler ou fort. ## Limite Limite S'applique classiquement seulement quand le module est premier et exige gcd(a,p)=1 pour l'énoncé sur le groupe multiplicatif ; il ne tient pas pour des modules composés quelconques sans hypothèses supplémentaires. ## Tension sémantique Tension sémantique Voisine du théorème d'Euler (qui remplace p−1 par φ(n)) et des tests probabilistes de primalité ; la tension vient de l'opposition entre faits algébriques exacts et usages heuristiques en test de primalité où existent des exceptions. ## Synthèse Synthèse Le petit théorème de Fermat exprime le fait de théorie des groupes que le groupe multiplicatif modulo un premier a un ordre divisant p−1, fournissant une congruence simple qui engendre des généralisations et des tests en arithmétique modulaire.