##  [Principe D'Inclusion et D'Exclusion](/fr/node/63489) 

 Définition

Une formule combinatoire qui donne la cardinalité d'une réunion finie d'ensembles comme une somme alternée des tailles de toutes les intersections non vides de ces ensembles.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Compter la réunion en ajoutant et en soustrayant alternativement les tailles des intersections pour corriger exactement le double ou multiple comptage dû aux recouvrements.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour deux ensembles A et B, |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ; pour trois ensembles A,B,C, |A ∪ B ∪ C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B|−|A∩C|−|B∩C| + |A∩B∩C|.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la formule d'inclusion–exclusion finie à des familles infinies sans étudier la convergence, ou ne soustraire que les intersections par paires alors que des recouvrements d'ordre supérieur existent, ce qui conduit à des comptes erronés.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Appliqué correctement à une famille finie, il donne le nombre exact d'éléments distincts de la réunion et permet des calculs de probabilité rigoureux pour les unions d'événements.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inversion de Möbius sur le treillis des parties inverse la relation d'inclusion–exclusion, exprimant les tailles d'intersection à partir des tailles d'union ou l'inverse.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite un nombre fini d'ensembles ou un contrôle des séries alternées infinies ; il n'est pas directement applicable aux espaces non dénombrables sans justification mesurable.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Concurrence avec des heuristiques plus simples (par ex. négliger les recouvrements) ou avec l'utilisation d'indicatrices et de la linéarité de l'espérance ; la tension est entre correction exacte et méthodes approximatives ou probabilistes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'inclusion–exclusion est le mécanisme combinatoire exact qui corrige le surcomptage par contributions alternées de toutes les intersections ; c'est le pendant discret de l'inversion de Möbius sur le treillis des sous-ensembles.