## [Principe du Bon Ordre](/fr/node/63484) Définition L'affirmation selon laquelle tout ensemble non vide d'entiers positifs (ou plus généralement tout ensemble bien ordonné) possède un plus petit élément pour l'ordre usuel ; en pratique on l'énonce souvent pour les nombres naturels : « tout sous-ensemble non vide de N possède un plus petit élément ». ## Principe Principe Existence d'un élément minimal : l'idée organisatrice est que les domaines bien ordonnés et discrets autorisent l'induction et les raisonnements par contre-exemple minimal car tout sous-ensemble non vide contient un plus petit membre. ## Démonstration Démonstration Par exemple, si S est un sous-ensemble non vide des naturels, alors S admet un élément minimal m ; ce fait sert dans les preuves par contre-exemple minimal : supposer qu'une propriété échoue, prendre le plus petit n pour lequel elle échoue, et tirer une contradiction à partir de la minimalité de n. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer le principe du bon ordre à des ensembles partiellement ordonnés sans vérifier la bien-fondation, ou supposer que tout ensemble de nombres réels a un plus petit élément pour l'ordre usuel — ce qui est faux car les réels ne sont pas bien ordonnés par <. ## Conséquence Conséquence Justifie l'induction et de nombreuses formes de descente et d'arguments de minimisation sur N ; combiné à certaines hypothèses de théorie des ensembles, il est équivalent à l'Axiome du Choix dans certaines formulations et produit des résultats d'existence structurels. ## Inversion Inversion La négation consisterait en l'existence d'un sous-ensemble non vide sans élément minimal dans le domaine considéré ; pour N cela ne peut pas arriver, mais dans d'autres ordres (comme Z ou R) des éléments minimaux peuvent faire défaut et les mêmes raisonnements échouent. ## Limite Limite Valable tel quel pour l'ordre usuel sur les nombres naturels et tout ensemble bien ordonné ; ne s'applique pas aux ordres partiels arbitraires ni aux ordres admettant des suites décroissantes ou des ordres denses comme les réels munis de <. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension avec les notions de densité d'ordre et de complétude : le principe du bon ordre affirme la discrétion et l'existence de minima, tandis que les ordres denses mettent en avant l'absence de successeurs immédiats et le manque de minima pour de nombreux sous-ensembles. ## Synthèse Synthèse Le Principe du Bon Ordre affirme que dans les domaines bien ordonnés tout sous-ensemble non vide possède un plus petit élément, propriété qui soutient l'induction, les preuves par contre-exemple minimal et la descente, tout en étant fausse dans les ordres denses ou non bien fondés.