## [Critère D'Eisenstein](/fr/node/63480) Définition Un test suffisant d'irréductibilité pour les polynômes à coefficients entiers : s'il existe un nombre premier p tel que p divise tous les coefficients sauf le coefficient dominant, p^2 ne divise pas le terme constant et p ne divise pas le coefficient dominant, alors le polynôme est irréductible sur les rationnels. ## Principe Principe La réduction modulo p transforme le polynôme en une forme où l'hypothèse rend impossible une factorisation rationnelle non triviale : la divisibilité par p des coefficients et l'absence de divisibilité par p^2 du terme constant empêchent toute factorisation en Q[x]. ## Démonstration Démonstration Considérons f(x)=x^3+6x^2+9x+3. Prenons p=3 : 3 divise 6,9,3 ; 3 ne divise pas le coefficient dominant 1 ; et 3^2=9 ne divise pas le terme constant 3. Par le critère d'Eisenstein, f est donc irréductible sur Q. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer Eisenstein sans vérifier la condition p^2, utiliser un entier composé à la place d'un premier, ou négliger qu'un changement de variable linéaire peut rendre le critère applicable ; aussi confondre suffisance et nécessité—beaucoup de polynômes irréductibles ne satisfont pas Eisenstein pour aucun premier. ## Conséquence Conséquence Fournit une condition suffisante, efficace et simple à vérifier pour l'irréductibilité sur Q qu'on peut souvent mettre en œuvre après un changement de variable x→x+c ; lorsqu'il s'applique il simplifie immédiatement les tâches de factorisation. ## Inversion Inversion L'absence d'un premier convenable p n'implique pas la réductibilité : le critère ne va que dans un sens. Toutefois, appliquer le critère à f(x+k) pour un entier k peut parfois révéler une irréductibilité non visible sur le polynôme d'origine. ## Limite Limite S'applique aux polynômes à coefficients entiers (ou dans des DFI munis d'un premier choisi) et donne des conditions suffisantes mais non nécessaires ; il ne couvre pas les polynômes pour lesquels aucun premier ne satisfait les contraintes de divisibilité, et il exige de vérifier la divisibilité par des puissances d'un premier. ## Tension sémantique Tension sémantique Complémentaire au lemme de Gauss et aux algorithmes de factorisation : Eisenstein est un test suffisant spécifique et facilement vérifiable, tandis que Gauss permet une réduction structurelle aux coefficients entiers ; des tensions apparaissent car beaucoup d'irréductibles échappent à Eisenstein mais sont détectés par d'autres méthodes. ## Synthèse Synthèse Le critère d'Eisenstein est un test concret fondé sur la divisibilité : en trouvant un premier dont le motif de divisibilité parmi les coefficients satisfait le critère, on conclut immédiatement à l'irréductibilité sur Q, souvent après un simple déplacement de variable.