##  [Théorème du Reste](/fr/node/63470) 

 Définition

Règle selon laquelle, lorsqu'on divise un polynôme p(x) par le polynôme linéaire (x−r), le reste est égal à p(r) ; l'évaluation en r donne donc le reste de cette division.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La division polynomiale par un diviseur linéaire est capturée par l'évaluation : le reste de la division par (x−r) est une constante égale à la valeur du polynôme en r, de sorte que division et évaluation commutent dans ce cas spécial.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : p(x) = x^3 − 4x + 1 divisé par x − 2 laisse pour reste p(2) = 8 − 8 + 1 = 1. La division synthétique produit la même constante comme reste et fournit simultanément le quotient.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que la même règle d'évaluation vaut pour des diviseurs de degré supérieur ; utiliser p(r) comme « le reste » en divisant par un polynôme non linéaire est incorrect car les restes sont alors des polynômes de degré positif.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit un test rapide de racine (reste nul) et un raccourci de calcul pratique : pour vérifier si r est racine calculez p(r) plutôt que d'effectuer une division complète, et facilite l'utilisation de la division synthétique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Si le reste de la division de p(x) par (x−r) est nul alors p(r)=0, retrouvant le Théorème du facteur. Le contraste est que les restes non nuls quantifient l'écart par rapport à l'être racine de r.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique à la division de polynômes sur des corps et des domaines intègres ; lorsque les coefficients sont dans des anneaux à diviseurs de zéro l'évaluation peut ne pas refléter le comportement de la division. Le théorème concerne la division par des polynômes linéaires uniquement.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Chevauchement avec le Théorème du facteur : les deux relient racines et division par (x−r) mais le Théorème du reste met l'accent sur le reste numérique p(r) tandis que le Théorème du facteur met l'accent sur la factorisation (reste nul).

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le Théorème du reste relie évaluation et division : évaluer p en r donne exactement le reste constant de la division par (x−r), fournissant un critère efficace pour tester les racines et une voie computationnelle pour extraire le quotient.