##  [Théorème du Facteur](/fr/node/63468) 

 Définition

Énoncé selon lequel, pour un polynôme p(x) sur un corps (ou un domaine intègre) et un scalaire r, r est une racine de p(x) (p(r)=0) si et seulement si le polynôme linéaire (x−r) est un facteur de p(x).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Racines et facteurs linéaires sont équivalents : les zéros d'un polynôme correspondent exactement aux facteurs linéaires, ce qui permet de factoriser en identifiant des racines et en extrayant des facteurs linéaires.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : p(x) = x^2 − 5x + 6 a p(2)=0 et p(3)=0, donc (x−2) et (x−3) sont des facteurs et p(x) = (x−2)(x−3). La division polynomiale ou la division synthétique exhibe le facteur linéaire explicitement.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des fonctions non polynomiales ou à des polynômes sur des anneaux où la division par (x−r) n'est pas bien définie ; ignorer la multiplicité en supposant une racine simple alors que (x−r)^k est le facteur réel.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Transforme la recherche de racines en factorisation et inversement ; permet la construction d'une factorisation complète sur un corps algébriquement clos et soutient les algorithmes de résolution numérique et symbolique d'équations polynomiales.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La réciproque est le théorème du reste spécialisé : si (x−r) divise p(x) alors p(r)=0. Le contraste apparaît quand aucun facteur linéaire n'existe sur le corps de base bien que p ait des racines dans une extension.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Se formule mieux sur des corps ou domaines intègres ; sur des anneaux de coefficients non intègres ou quand r n'appartient pas à l'anneau des coefficients il faut considérer des facteurs dans des extensions. Le théorème traite des facteurs linéaires uniquement.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre factorisation sur le corps de coefficients et sur les extensions : un polynôme peut ne pas avoir de facteurs linéaires sur Q mais en avoir sur R ou C, il faut donc préciser le corps où l'on cherche des racines.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème du facteur relie la condition algébrique p(r)=0 à l'opération algébrique de division par (x−r) : trouver une racine produit un facteur linéaire et réciproquement, fournissant le mécanisme de base pour la factorisation pas à pas d'un polynôme.