##  [Lemme d'Euclide](/fr/node/63464) 

 Définition

Énoncé de la théorie des nombres affirmant que si un nombre premier p divise le produit ab de deux entiers a et b, alors p divise a ou p divise b.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les nombres premiers sont indivisibles en termes de divisibilité : un diviseur premier d'un produit doit déjà diviser au moins un des facteurs, principe organisateur des raisonnements sur la divisibilité et la factorisation.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : p = 3 et 3 divise 9·4 = 36 ; comme 3 divise 9, le lemme est vérifié. De façon plus structurelle, si p divise ab et p ne divise pas a alors pgcd(a,p)=1 et l'existence d'entiers x,y tels que ax+py=1, multipliée par b, conduit à p divise b.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer l'énoncé en prenant p composite : pour un entier composite c divisant ab il est faux en général que c divise a ou b ; employer le lemme dans des anneaux dépourvus de notion appropriée de premier ou de pgcd sans vérifier les hypothèses.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Constitue une étape clé pour démontrer l'unicité de la factorisation dans les entiers et permet de passer de la divisibilité d'un produit à la divisibilité d'un facteur, facilitant des preuves inductives reposant sur les nombres premiers.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La converse triviale est que si p divise a alors p divise ab ; le contraste signifiant est que remplacer « premier » par « composé » détruit l'énoncé, d'où l'apparition de contre‑exemples lorsque l'on inverse la propriété.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux éléments premiers dans les domaines intègres munis d'une notion adéquate de primalité ; il est formulé de façon la plus simple pour les nombres premiers entiers de Z. Il ne tient pas automatiquement dans des anneaux où les irréductibles ne sont pas premiers.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre « premier » et « irréductible » : dans certains anneaux, des éléments irréductibles ne satisfont pas le lemme, ce qui fait la différence entre éléments premiers (imposant la divisibilité des facteurs) et simples irréductibles.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le lemme d'Euclide exprime la propriété essentielle des éléments premiers : lorsqu'un premier divise un produit, la divisibilité se localise à un facteur, mécanisme central pour l'unicité de la factorisation et pour transférer une information sur un produit vers ses facteurs.