## [Théorème Fondamental de L'Algèbre](/fr/node/63461) Définition L'énoncé selon lequel tout polynôme non constant à une variable et à coefficients complexes admet au moins une racine complexe ; équivalemment, un polynôme de degré n se factorise en n facteurs linéaires sur C en comptant les multiplicités. ## Principe Principe Les nombres complexes forment un corps algébriquement clos : toute équation polynomiale de degré positif possède une solution dans C, ce qui implique la factorisation linéaire complète sur C. ## Démonstration Démonstration Exemple : p(z) = z^2 + 1 est non constant et ses racines complexes sont z = i et z = -i ; en général un polynôme de degré n possède exactement n racines complexes, en tenant compte des multiplicités. ## Mauvaise application Mauvaise application Prétendre la même conclusion sur des corps non algébriquement clos (par exemple les réels) ; sur R un polynôme non constant peut ne pas avoir de racine réelle et ne se factorise pas nécessairement uniquement en facteurs linéaires. ## Conséquence Conséquence Permet la factorisation des polynômes à coefficients complexes en facteurs linéaires, soutient des résultats spectraux en algèbre linéaire sur C et sous-tend de nombreuses constructions analytiques et algébriques reposant sur l'existence de racines. ## Inversion Inversion La réciproque contraste le travail sur un corps non algébriquement clos : au lieu de facteurs linéaires garantis, les polynômes peuvent rester irréductibles ou ne se factoriser que partiellement, ce qui motive l'extension du corps des coefficients pour obtenir des racines. ## Limite Limite Nécessite des polynômes à une variable avec coefficients dans C (ou tout corps algébriquement clos) et de degré non nul ; les polynômes multivariables ou à coefficients dans des corps non clos ne sont pas couverts directement et demandent d'autres notions de solutions. ## Tension sémantique Tension sémantique La tension vient de la différence entre la propriété d'existence fournie par la clôture algébrique et les approches constructives pour trouver des racines ; les preuves variées (analytiques, topologiques, algébriques) mettent en lumière des aspects différents d'un même fait. ## Synthèse Synthèse Le Théorème Fondamental de l'Algèbre affirme que les complexes sont algébriquement complets pour les polynômes à une variable : tout polynôme non constant admet une racine complexe et se factorise complètement en facteurs linéaires sur C, reliant structure algébrique, analyse et topologie.