##  [Théorème Multinomial](/fr/node/63459) 

 Définition

La généralisation du théorème binomial qui développe (x1 + x2 + ... + xm)^n en une somme sur tous les m‑uplets d'entiers naturels (k1,...,km) de somme n, avec des coefficients donnés par les coefficients multinomiaux n!/(k1!...km!).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Chaque coefficient multinomial compte le nombre de manières de répartir n positions étiquetées entre m catégories distinctes avec des effectifs donnés k1,...,km, produisant le monôme correspondant.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour m = 3 et n = 2 : (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz ; les coefficients 2 correspondent aux choix où deux variables distinctes occupent les deux facteurs.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la formule multinomiale finie lorsque les facteurs ne commutent pas (par exemple des matrices) sans tenir compte de l'ordre, ou traiter des exposants non entiers comme si le développement combinatoire fini restait valable.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet le développement systématique de puissances de sommes à plusieurs termes, sous-tend les lois multinomiales en probabilité et fournit des formules de coefficients utilisées dans les identités de polynômes symétriques et le dénombrement combinatoire.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inversion consiste à considérer un polynôme multivarié comme factorisable ou comme produit de formes linéaires plutôt que comme somme explicite de monômes ; l'inversion met l'accent sur la décomposition plutôt que sur l'assemblage combinatoire.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Donne un développement fini seulement pour n entier naturel. Pour des exposants non entiers, il faut des développements en séries avec analyse de convergence. L'énoncé standard suppose des variables scalaires commutatives ; une structure supplémentaire est nécessaire pour des variables opérateurs ou non commutatives.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Proche du théorème binomial (cas particulier m = 2) et des méthodes de fonctions génératrices : le théorème multinomial est une identité de coefficients à contenu combinatoire, tandis que les fonctions génératrices traitent des mêmes dénombrements par des outils analytiques.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le Théorème Multinomial étend le développement binomial aux sommes de plusieurs termes commutatifs en exprimant la puissance n‑ième comme une somme sur les distributions d'occupation ; ses coefficients factorials relient l'algèbre polynomiale à la combinatoire énumérative et à la probabilité multivariée.