##  [Loi D'Annulation à Gauche](/fr/node/63451) 

 Définition

Propriété d'une opération binaire sur une structure algébrique indiquant que pour un élément fixé a, si a · x = a · y alors x = y ; lorsque cela vaut pour tout a dans un sous-ensemble donné, on dit que l'annulation à gauche y est vérifiée.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La multiplication à gauche par un élément annulable est injective : l'application x ↦ a · x préserve la distinction des éléments, donc une égalité après multiplication à gauche implique l'égalité préalable lorsque l'annulation à gauche tient.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans un groupe (G, ·) tout élément est annulable : si a·x = a·y alors multiplier à gauche par a^{-1} donne x = y. Dans les entiers positifs pour l'addition l'annulation à gauche vaut aussi car a + x = a + y implique x = y.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer l'annulation à gauche dans des structures où elle échoue, comme certains semi-groupes avec diviseurs de zéro ou monoïdes avec idempotents où a·x = a·y n'entraîne pas forcément x = y ; confondre annulation à gauche et à droite sans vérifier le côté concerné.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Quand l'annulation à gauche vaut, on peut simplifier des équations en ôtant un facteur commun à gauche, ce qui facilite la résolution d'équations, la preuve d'unicité et le raisonnement sur des actions injectives à gauche.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La notion inverse est la non-annulation à gauche : avoir a·x = a·y avec x ≠ y, ce qui indique la présence de diviseurs de zéro, d'identifications ou la perte d'injectivité de la multiplication à gauche et complique la résolution d'équations.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux opérations binaires où la multiplication à gauche a un sens ; ne vaut pas en général dans les semi-groupes, anneaux avec diviseurs de zéro ou semi-groupes à gauche-nul à moins d'imposer des axiomes additionnels d'annulation.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre le comportement annulatif local (pour un élément donné a) et la cancellativité globale (pour tous les éléments non nuls ou pour tous les éléments) ; tension aussi entre l'annulation comme axiome algébrique et l'annulation résultant de l'inversibilité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La loi d'annulation à gauche exprime que la multiplication à gauche par certains éléments est injective ; lorsqu'elle est satisfaite, elle permet d'enlever un facteur commun à gauche pour déduire l'égalité des facteurs restants et simplifie le raisonnement algébrique.