##  [Lois de de Morgan](/fr/node/63447) 

 Définition

Deux règles algébriques qui décrivent comment la complémentation (la négation logique ou le complément d'ensemble) se distribue sur les opérations binaires réunion et intersection (ou OU et ET) : le complément d'une réunion est l'intersection des compléments, et le complément d'une intersection est la réunion des compléments.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La négation ou la complémentation inverse l'opération binaire : complément(A ∪ B) = complément(A) ∩ complément(B) et complément(A ∩ B) = complément(A) ∪ complément(B) ; ce renversement structurel s'applique dans les algèbres de Boole et la logique propositionnelle entre OU et ET sous négation.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

En théorie des ensembles, si A = {1,2} et B = {2,3} dans l'univers U = {1,2,3,4}, alors (A ∪ B)^c = {4} tandis que A^c ∩ B^c = {4} ; en logique propositionnelle, ¬(P ∨ Q) est équivalent à (¬P ∧ ¬Q) et une table de vérité montre l'identité des lignes correspondantes.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer les lois sans compléments définis (par exemple dans une structure dépourvue de complément), omettre d'inverser les opérations (écrire complément(A ∪ B) = complément(A) ∪ complément(B)), ou traiter l'implication ou les quantificateurs de la même façon sans transformation préalable en formes appropriées.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Elles permettent de réécrire systématiquement les compléments en formes plus simples pour les démonstrations, la conception de circuits ou les manipulations algébriques ; elles soutiennent aussi la conversion en formes normales et la minimisation en algèbre de Boole.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'idée inversée consisterait à distribuer le complément sans changer l'opération binaire (p. ex. prétendre que complément(A ∪ B) = complément(A) ∪ complément(B)) ; cette inversion rompt l'équivalence et donne une expression incorrecte.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valables dans les algèbres de Boole, les algèbres de parties et la logique propositionnelle classique ; peuvent échouer ou devoir être modifiées dans les logiques non classiques (intuitionniste, paraconsistante) et dans des structures algébriques sans complément ou avec des négations non classiques (floues, multivaluées).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre considérer les lois comme des règles purement syntaxiques de réécriture et comme des équivalences sémantiques portant sur les conditions de vérité ; tension aussi entre la négation classique, où les lois tiennent exactement, et des négations affaiblies qui modifient une ou deux directions.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Les lois de Morgan relient complément et opérations binaires en affirmant que la complémentation transforme réunion en intersection et réciproquement ; ce sont des équivalences algébriques utiles pour réécrire et simplifier en théorie des ensembles, algèbre de Boole et logique propositionnelle.