## [Loi Distributive](/fr/node/63444) Définition Relation entre deux opérations binaires indiquant que l'une distribue sur l'autre, typiquement écrite a·(b + c) = a·b + a·c (distributivité à gauche) et (b + c)·a = b·a + c·a (à droite) lorsque les deux tiennent. ## Principe Principe La distributivité relie deux opérations de sorte que l'application de l'une après la combinaison par l'autre équivaut à la combinaison de la première appliquée à chaque argument ; elle exprime la compatibilité entre opérations. ## Démonstration Démonstration Dans un anneau, la multiplication distribue sur l'addition : 2·(3+4) = 2·3 + 2·4. La multiplication matricielle distribue sur l'addition matricielle : A(B+C) = AB + AC. En algèbre booléenne, ∧ distribue sur ∨ et réciproquement. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que l'exponentiation distribue sur l'addition et écrire (a+b)^n = a^n + b^n, ou supposer que la distributivité gauche et droite sont équivalentes dans un contexte non commutatif sans vérification, sont des erreurs fréquentes. ## Conséquence Conséquence La distributivité permet les règles de développement et de factorisation, sous-tend l'arithmétique des polynômes et la théorie des anneaux, et rend une opération linéaire sur les combinaisons formées par l'autre, facilitant la manipulation algébrique et la simplification algorithmique. ## Inversion Inversion Quand la distributivité fait défaut, les produits ne peuvent pas être développés sur les sommes ; certaines structures algébriques n'ont pas de distributivité (ou seulement à sens unique), ce qui engendre des identités plus complexes et empêche les factorisations standard. ## Limite Limite Exige deux opérations bien définies sur le même ensemble et la précision de la distributivité à gauche ou à droite dans les contextes non commutatifs ; la distributivité n'est pas déduite de l'associativité ou de la commutativité seules. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent confondue avec la linéarité : la distributivité sur une addition est partie intégrante de la linéarité, mais les applications linéaires exigent aussi la compatibilité avec les scalaires et l'additivité pour tous les scalaires ; la distributivité entre deux opérations est une condition de compatibilité algébrique plus faible. ## Synthèse Synthèse La Loi de Distributivité formalise une règle de compatibilité entre deux opérations sur un même ensemble : appliquer l'une sur une combinaison faite par l'autre revient à la combinaison correspondante de ses applications séparées, permettant développement, factorisation et une structure algébrique cohérente.